- Артикул:00-00002555
- Автор: Малугин В.А.
- ISBN: 978-5-9916-2406-0
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Юрайт (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 557
- Формат: 84х108 1/32
- Год: 2013
- Вес: 771 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
- Бакалавр. Базовый курс
Развернуть ▼
В учебнике рассмотрены основные идеи дифференциального и интегрального исчисления, а также классические методы оптимизации. Его цель — в доступной форме рассмотреть важные разделы математического анализа и их применение при решении широкого круга различных задач. Изложение сопровождается многочисленными примерами и поясняющими рисунками. Большинство глав заканчивается задачами, предлагаемыми для самостоятельного решения, ответы к которым приведены в конце книги
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения.
Учебник для студентов экономических направлений и может быть полезен преподавателям при организации учебного процесса, включая проведение семинарских занятий, а также для практических работников, проходящих переподготовку
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Элементарные функции и их графики
Определение функции
Способы задания функций
Декартова система координат
Полярная система координат
Формы задания функций
Основные свойства функций
Преобразование графиков
Обзор элементарных функций
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 2. Числовые последовательности
Сходимость последовательности
Кванторы
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Ограниченность последовательности
Теоремы о сходимости последовательности
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 3. Предел функции
Понятие предела функции
Свойства бесконечно малых функций
Связь между существованием функции в точке х0 и существованием предела при х — х0
Свойства пределов функций
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Задача о непрерывном начислении процентов
Символ Ландау (символ о-малое)
Свойства символа о-малое
Асимптотические равенства
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 4. Непрерывность функции
Определение непрерывности
Свойства непрерывных функций
Точки разрыва функции. Их классификация
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Первая теорема Больцано — Коши (о нуле непрерывной функции)
Вторая теорема Больцано — Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции)
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на отрезке функции)
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на отрезке функции своих верхней и нижней граней)
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 5. Производная и дифференциал функции
Производная функции одной переменной
Дифференциал функции
Правила вычисления производных
Правила вычисления дифференциалов
Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
Инвариантность формы первого дифференциала
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 6. Геометрические приложения производной
Уравнение касательной к кривой
Геометрический смысл производной (производная как тангенс угла наклона)
Угол между кривыми
Условие параллельности двух прямых
Условие перпендикулярности двух прямых
Геометрический смысл дифференциала
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 7. Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Производные функций, заданных неявно
Производные функций, заданных параметрически
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
Сравнение функций по скорости роста
Формулы Маклорена и Тейлора
Разложение по формуле Маклорена элементарных функций
Примеры решения задач
Вопросы и задания, для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 9. Исследование функций с помощью производных
Условия возрастания и убывания функции
Понятие экстремума
Необходимое условие экстремума
Первое достаточное условие экстремума
Схема исследования функции на экстремум
Второе достаточное условие экстремума
Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке
Выпуклость функции. Точки перегиба
Схема исследования функции на выпуклость
Асимптоты графика функции
Исследование функций и построение их графиков
Эластичность функции
Геометрическая интерпретация
Свойства эластичности функции
Эластичность элементарных функций
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 10. Функции нескольких переменных
Понятие функции как отображения
Введение в функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных
Линии уровня
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность
Непрерывность функции нескольких переменных.
Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
Частные производные
Частные производные функции f(x,y)
Геометрический смысл частной производной
Понятие дифференцируемое
Определение дифференцируемости функции нескольких переменных
Следствие о приращении дифференцируемой функции
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции нескольких переменных
Полный дифференциал
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Частные дифференциалы функции нескольких переменных
Сложные функции. Их производные
Дифференцируемостъ сложной функции нескольких переменных
Производная функцииz = z(x,y) прих=x(t) иу=y(i)
Производная функции z=z(u, v) при и = и(х,у) uv = v(x,y)
Производная функции z=z(u, v) при произвольном задании аргументов
Неявные функции. Их производны
Уравнение F(x,y) = 0 в дифференциалах
Уравнение F(x,y) = 0в производных.
Уравнение F(x,y,z) = 0 в дифференциалах.
Уравнение F(x,y,z) = 0в производных
Однородные функции
Теорема Эйлера (о формуле для однородной функции)
Производная по направлению
Производная по направлению
Градиент
Свойства градиента
Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков функции нескольких переменных
Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
Формула Тейлора
Макроэкономическая функция Кобба — Дугласа
Понятие производственной функции
Требования к производственной функции
Функция Кобба —Дугласа как макроэкономическая производственная функция
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 11. Классические методы оптимизации
Локальный экстремум
Определение локального экстремума
Необходимые условия локального экстремума
Достаточные условия локального экстремума
Использование квадратичных форм
Условный экстремум
Определение условного экстремума
Первый метод нахождения условного экстремума
Второй метод нахождения условного экстремума (метод Лагранжа)
Геометрическая интерпретация необходимых условий локального экстремума
Окаймленный гессиан
Последовательность действий при отыскании условных экстремумов функции двух переменных.
Условный экстремум функции п переменных с т уравнениями связи
Экстремум неявной функции
Глобальный экстремум
Экстремум в системах функций
Метод Лагранжа при исследовании на условный экстремум в системах функций
Экстремум в системах неравенств
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 12. Приложения к экономической теории
Максимизация выпуска при наличии лимита на ресурсы
Решение в общем виде задачи максимизации выпуска при наличии лимита на ресурсы
Некоторые утверждения о предельных отношениях (выпуск продукции при вариациях лимита на ресурсы или цены за ресурс)
Минимизация издержек при фиксированном объеме выпуска
Решение в общем виде задачи минимизации издержек при фиксированном объеме выпуска
Некоторые утверждения о предельных отношениях (издержки при вариации объема выпуска или цены за ресурс)
Оптимизация потребительского поведения
Спрос на товары при максимизации целевой функции
Изменение спроса на товары при вариации дохода потребителя
Глобальный экстремум в задачах математического программирования
Вопросы и задания для повторения
Глава 13. Неопределенные интегралы
Понятие первообразной
Свойства неопределенного интеграла
Табличные интегралы
Методы нахождения неопределенных интегралов
Приведение к табличному виду
Подведение под знак дифференциала
Интегрирование заменой переменной, или подстановка
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Метод неопределенных коэффициентов
Последовательность нахождения интеграла методом неопределенных коэффициентов
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 14. Определенные интегралы
Площадь криволинейной трапеции
Свойства определенного интеграла
Производная интеграла с переменным верхним пределом
Формула Ньютона — Лейбница
Формула замены переменной в определенном интеграле
Формула интегрирования по частям
Приближенное вычисление определенных интегралов
Оценка определенных интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 15. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Эталонный интеграл первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Эталонный интеграл второго рода
Исследование на сходимость несобственных интегралов первого и второго рода от неотрицательных функций
Исследование на сходимость интегралов от знакопеременных функций
Использование интегралов в экономике
Задача о неравномерном распределении доходов
Задача замены оборудования
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 16. Двойные интегралы
Понятие двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Нахождение двойных интегралов
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 17. Элементы теории множеств
Необходимое и достаточное условия. Определения
Операции над множествами
Булева алгебра
Примеры решения задач
Вопросы и задания для повторения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 18. Комплексные числа
Понятие комплексного числа
Арифметические операции над комплексными числами
Комплексная плоскость
Функция комплексного переменного
Тригонометрическая форма комплексного числа
Формула Муавра
Извлечение корня из комплексного числа
Показательная форма комплексного числа
Свойства комплексной показательной функции
Основная теорема алгебры
Вопросы и задания для повторения
Примеры решения задач
Ответы к задачам для самостоятельного решения
Тематический указатель
Список литературы
Рекомендуем
