- Артикул:00-00003698
- Автор: под ред. А.С. Поспелова
- ISBN: 978-5-9916-1369-9
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Юрайт (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 605
- Формат: 84х108/32
- Год: 2014
- Вес: 554 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
В сборнике содержатся задачи но основам математического анализа, векторной алгебре и аналитической геометрии, линейной алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, кратным интегралам и дифференциальным уравнениям. Приведенные краткие теоретические сведения, иллюстрируемые большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения, а также для самостоятельной работы студентов.
Соответствует государственному образовательному стандарту нового поколения.
Для студентов младших курсов высших технических учебных заведений.
Оглавление
Предисловие
Часть I. Линейная алгебра и математический анализ
Глава 1. Введение в анализ
1.1. Действительные числа. Множества и операции над ними. Верхние и нижние грани числовых множеств
1. Понятие действительного числа.
2. Логическая символика
3. Множества и операции над ними
4. Верхние и нижние грани числовых множеств
1.2. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
1. Метод математической индукции
2. Основные законы и формулы комбинаторики
3. Бином Ньютона
1.3. Комплексные числа
1. Определение комплексных чисел и алгебраические операции над ними. Алгебраическая форма комплексного числа
2. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа и действия над комплексными числами в тригонометрической форме
3. Показательная форма комплексного числа
4. Многочлены и алгебраические уравнения
Глава 2. Пределы
2.1. Предел последовательности
1. Понятие последовательности.
2. Предел последовательности
3. Предел последовательности комплексных чисел
2.2. Понятие функции. Элементарные функции и их графики
1. Понятие функции
2. Элементарные функции и их графики.
2.3. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции
2. Замечательные пределы
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
5. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
Глава 3. Матрицы и определители
3.1. Матрицы. Операции над матрицами
3.2. Определители
1. Определители 2-го и 3-го порядка
2. Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными
3. Определители га-го порядка
4. Основные методы вычисления определителей га-го порядка
3.3. Обратная матрица
1. Обратная матрица и методы ее вычисления
2. Матричные уравнения
3.4. Ранг матрицы
1. Пространство арифметических векторов
2. Основные определения и методы вычисления ранга матрицы
Глава 4. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
4.1. Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами
2. Базис и координаты вектора
3. Декартовы прямоугольные координаты точки на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии
4. Скалярное произведение векторов
5. Векторное произведение векторов
6. Смешанное произведение векторов
4.2. Линейные геометрические объекты
1. Прямая на плоскости
2. Плоскость и прямая в пространстве
Глава 5. Кривые на плоскости, кривые и поверхности в пространстве
5.1. Кривые на плоскости
1. Уравнение кривой в декартовой системе координат
2. Уравнение кривой в полярной системе координат
3. Алгебраические кривые второго порядка
4. Полярное уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы
5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе и повороте
6. Параметрические уравнения кривой
5.2. Кривые и поверхности в пространстве
1. Уравнение поверхности и кривой в декартовой прямоугольной системе координат
2. Алгебраические поверхности второго порядка
Глава 6. Системы линейных уравнений
6.1. Правило Крамера
6.2. Решение произвольных систем
1. Решение линейных систем общего вида
2. Однородные системы
3. Метод последовательных исключений Жордана - Гаусса
Глава 7. Линейная алгебра
7.1. Линейные пространства и пространства со скалярным произведением
1. Линейное пространство.
2. Конечномерное пространство. Базис в я-мерном пространстве
3. Изоморфизм «мерных пространств»
4. Подпространства линейного пространства и линейные многообразия
5. Сумма и пересечение подпространств
6. Пространства со скалярным произведением
7.2. Линейные операторы
1. Алгебра линейных операторов
2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
3. Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением
4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
7.3. Билинейные и квадратичные формы
1. Линейные формы.
2. Билинейные формы
3. Квадратичные формы
4. Кривые и поверхности второго порядка. Приведение к каноническому виду
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
8.1. Производная
1. Определение производной
2. Дифференцирование явно заданных функций
3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
4. Производные высших порядков
5. Геометрические и механические приложения производной
8.2. Дифференциал
1. Дифференциал первого порядка
2. Дифференциалы высших порядков
8.3. Исследование функций и построение графиков
1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы
2. Направление выпуклости. Точки перегиба
3. Асимптоты
4. Построение графиков функций
8.4. Правило Лопиталя
1. Раскрытие неопределенностей типа - или -
2. Раскрытие неопределенностей типа 0-°° и 3. Раскрытие неопределенностей типа 0°, 1°°
8.5. Формула Тейлора
8.6. Векторные и комплексные функции действительной переменной
1. Определение вектор-функции действительной переменной
2. Дифференцирование вектор-функций
3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
4. Комплексные функции действительной переменной
Глава 9. Интегральное исчисление функции одной переменной
9.1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
1. Первообразная и неопределенный интеграл
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
3. Интегрирование по частям неопределенного интеграла
9.2. Интегрирование основных классов элементарных функций
1. Интегрирование рациональных дробей.
2. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
9.3. Определенный интеграл и методы его вычисления
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона - Лейбница
3. Свойства определенного интеграла
4. Замена переменной в определенном интеграле
5. Интегрирование по частям определенного интеграла
9.4. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
2. Интегралы от неограниченных функций
9.5. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры.
2. Длина дуги кривой
3. Площадь поверхности вращения
4. Объем тела
9.6. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
10.1. Основные понятия
1. Понятие функции нескольких переменных
2. Предел и непрерывность функций
3. Частные производные
4. Дифференциал функции и его применение
10.2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных
2. Неявные функции нескольких независимых переменных
3. Системы неявных и параметрически заданных функций
10.3. Приложения частных производных
1. Формула Тейлора
2. Экстремум функции
3. Условный экстремум
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Геометрические приложения частных производных
Глава 11. Кратные интегралы
11.1. Двойной интеграл
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах
2. Замена переменных в двойном интеграле
3. Приложения двойных интегралов
11.2. Тройной интеграл
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах
2. Замена переменных в тройном интеграле
3. Приложения тройных интегралов
11.3. Несобственные кратные интегралы
1. Интеграл по бесконечной области
2. Интеграл от разрывной функции
11.4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.1 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1. Основные понятия
2. Аналитический метод решения уравнений 1-го порядка
3. Уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные уравнения
5. Линейные уравнения
6. Уравнение в полных дифференциалах
7. Уравнения, не разрешенные относительно производной
8. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка
9. Геометрические задачи, приводящие к появлению дифференциальных уравнений 1-го порядка
12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1. Основные понятия. Теорема Коши
2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
3. Линейные однородные уравнения
4. Линейные неоднородные уравнения
12.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
3. Дифференциальные уравнения Эйлера
12.4. Системы дифференциальных уравнений
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями и-го порядка
2. Методы интегрирования нормальных систем
3. Физический смысл нормальной системы
4. Линейные однородные системы
5. Линейные неоднородные системы
12.5. Элемент теории устойчивости
1. Основные понятия
2. Простейшие типы точек покоя
3. Метод функций Ляпунова
4. Исследование системы на устойчивость по первому приближению
Ответы и указания
Рекомендуем
