- Артикул:00-01118709
- Автор: В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный
- Тираж: 10000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Вышэйшая школа (все книги издательства)
- Город: Минск
- Страниц: 584
- Формат: 70х90 1/16
- Год: 1972
- Вес: 1723 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Книга является первым томом учебного пособия по теория вычислительных методов математики для университетов. Она будет полезна также для студентов технических учебных заведений с достаточно большой программой математики. Вместе с тем книга рассчитана на широкий круг лиц, интересующихся теорией методов вычислений.
См. также Вычислительные методы высшей математики. Том 2
Содержание
Предисловие
Глава 1. Решение численных уравнений
§ 1.1. О содержании задачи решения уравнении
§ 1.2. Метод итерации. Случай одного численного уравнения
§ 1.3. О задаче улучшения метода итерации. Некоторые видоизменения итерационного процесса
§ 1.4. Улучшение итерационного процесса при помощи преобразования заданного уравнения
§ 1.5. Понятие об общей теории метода итерации. Теорема о сжатых отображениях
§ 1.6. Метод итерации для систем уравнений
§ 1.7. Метод Ньютона. Случай одного численного уравнения
§ 1.8. Об уточнениях и изменениях метода Ньютона
§ 1.9. Операторные уравнения и метод Ньютона
§ 1.10. Метод Ньютона для систем уравнений
§ 1.11. Метод решения, основанный на возведении корней в степень
§ 1.12. Нахождение корней многочленов при помощи выделения множителей
Литература
Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнения
§ 2.1. Некоторые сведения из линейной алгебры
2.1.1. Сходимость последовательностей векторов и матриц
2.1.2. Нормы векторов и матриц
2.1.3. Сходимость матричной геометрической прогрессии
§ 2.2. Итерационные методы
2.2.1. Основные разновидности итерационных процессов
2.2.2. Метод простой итерации
2.2.3. Метод Ричардсона
2.2.4. Метод Зейделя и метод релаксации
§ 2.3. Методы исключения
2.3.1. Метод Гаусса
2.3.2. Метод оптимального исключения
2.3.3. Метод окаймления
2.3.4. Вычисление определителей
2.3.5. Обращение матриц
§ 2.4. Методы, основанные на разложениях матрицы
2.4.1. Метод квадратного корня
2.4.2. Метод отражений
2.4.3. Вычисление определителей
2.4.4. Обращение матриц
§ 2.5. Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов, ортогональных в некоторой метрике
2.5.1. Метод ортогонализации
2.5.2. Алгоритм Уилкинсона
2.5.3. Метод сопряженных градиентов
2.5.4. Вариант метола сопряженных градиентов
2.5.5. Метод скорейшего спуска
§ 2.6. Способы оценки погрешности приближенного решения системы
2.6.1. Обусловленность систем уравнений и матриц
2.6.2. Оценка погрешности в
Литература
Глава 3. Вычисление собственных значения и собственных векторов матриц
§ 3.1. О содержании задачи
§ 3.2. Метод Д. Н. Крылова
3.2.1. Некоторые сведения из алгебры
3.2.2. Нахождение собственных значений матрицы
3.2.3. Вычисление собственных векторов матрицы
§ 3.3. Метод А. М. Данилевского
3.3.1. Построение собственного многочлена матрицы
3.3.2. Вычисление собственных векторов матрицы
§ 3.4. Другие методы получения собственного многочлена матрицы
3.4.1. Интерполяционной метод
3.4.2. Метод Леверье
3.4.3. Метод Д. К. Фаддеева
3.4.4. Метод окаймления
3.4.5. Эскалаторный метод
3.4.6. Метод ортогонализации
3.4.7. Метод Хессенберга
3.4.8. Метод Самуэльсона
§ 3.5. Итерационные методы нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы
3.5.1. Степенной метод для вычисления наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора
3.5.2. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы
3.5.3. Видоизменения степенного метода
3.5.4. Метод ?-разности
§ 3.6. Метод вращений
3.6.1. Случай вещественных симметрических матриц
3.6.2. Сходимость метода вращений
3.6.3. Случай эрмитовых матриц
§ 3.7. Уточнение собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц и ускорение сходимости метода итерации при решении систем линейных алгебраических уравнений
3.7.1. Уточнение полной проблемы собственных значений
3.7.2. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора
3.7.3. ?2-Процесс Эйткена
3.7.4. Метод М. К. Гавурина
3.7.5. Метод Л. А. Люстерника
Литература
Глава 4. Интерполирование
§ 4.1. О содержании задачи интерполирования
4.1.1. Об интерполяционных приближениях
4.1.2. Остаток интерполирования
§ 4.2. Конечные разности и разностные отношения
4.2.1. Конечные разности
4.2.2. Разностные отношения, их свойства и связь с конечными разностями
§ 4.3. Алгебраическое интерполирование по значениям функции. Погрешность интерполирования
4.3.1. Введение
4.3.2. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона
4.3.3. Остаток интерполирования и его представления для некоторых классов функций
§ 4.4. Некоторые правила интерполирования при равноотстоящих значениях аргумента
4.4.1. Правила для интерполирования в начале и конце таблицы
4.4.2. Правила интерполирования внутри таблицы
§ 4.5. Приложение интерполирования к численному нахождению производных
4.5.1. Об интерполяционном правиле вычисления производной от функции, заданной таблично
4.5.2. Некоторые частные правила вычисления производных
§ 4.6. Интерполяционные методы решения численных уравнений
4.6 1. Введение. Связь с задачей обратного интерполирования
4.6.2. Метод приближений, основанный на интерполировании обратной функции
4.6.3. Замена точного уравнения f (х)=0 приближенным, полученным интерполированием f
§ 4.7. Интерполирование с кратными узлами
4.7.1. Существование и единственность интерполирующего многочлена. Остаток
4.7.2. Представление R (х) в случае аналитической функции f. Формула Эрмита для многочлена Р(х)
§ 4.8. Сходимость интерполяционных процессов
4.8.1. О предельной функции распределения узлов
4.8.2. Сходимость интерполирования аналитических функций
4.8.3. Некоторые вспомогательные теоремы
4.8.4. Сходимость интерполирования на множествах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций
Литература
Глава 5. Численное интегрирование
§ 5.1. Квадратурная сумма и условия ее построения. Остаток квадратуры
5.1.1. О квадратурной сумме
5.1.2. Остаток приближенной квадратуры
§ 5.2. Интерполяционные квадратурные правила и их погрешности
§ 5.3. Правила Ньютона-Котеса
§ 5.4. Некоторые простейшие правила Ньютона-Котеса
5.4.1. Правило трапеций
5.4.2. Правило парабол (формула Симпсона)
5.4.3. Правило «трех восьмых»
§ 5.5. Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени точности
5.5.1. Построение правила и его единственность
5.5.2. Два замечания о квадратурных коэффициентах
5.5.3. Остаток квадратурного правила
5.5.4. Сходимость квадратурного процесса наивысшей степени точности
5.5.5. Замечание об интегрировании периодических функций
§ 5.6. Некоторые частные случаи квадратурных правил наивысшей алгебраической степени точности
5.6.1. Постоянная весовая функция
5.6.2. Интегралы вида ba (Ь-х) а(x-а) ? f(x) dx
5.6.3. Интегралы вида co xae-x f(x) dx
5.6.4. Интегралы вида co-co e-x2 f(d) dx
§ 5.7. Квадратурные правила наивысшей степени точности, имеющие фиксированные заранее узлы
5.7.1. Некоторые общие теоремы
5.7.2. Некоторые частные квадратурные правила
§ 5.8. Квадратурные правила с равными коэффициентами
5.8.1. Построение формул Чебышева. Существование и единственность
5.8.2. Случай посточнного веса р(х) = 1
§ 5.9. Увеличение точности квадратурных правил. Формулы эйлерова вида
5.9.1. Введение
5.9.2. Правила эйлерова вида
5.9.3. Формула Эйлера-Маклорена
5.9.4. Разностные видоизменения формулы Эйлера-Маклорена
§ 5.10. Увеличение точности квадратурных правил. Ослабление особенностей интегрируемой функции
§ 5.11. Сходимость квадратурного процесса
5.11.1. Условия сходимости общего квадратурного процесса
5.11.2. Сходимость интерполяционных квадратурных процессов
§ 5.12. Вычисление неопределенного интеграла
5.12.1. Введение
5.12.2. Погрешность вычислений и сходимость
§ 5.13. Понятие о некоторых частных методах вычисления неопределенного интеграла
5.13.1. Интегрирование функции, заданной таблицей значений
5.13.2. Вычисление при помощи периодически расположенных узлов
5.13.3. О правилах, использующих в вычислениях несколько предшествующих значений интеграла
Литература
Добавление I. Некоторые сведения из функционального анализа
§ 1. Метрические пространства. Сходимость и полнота
§ 2. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы
§ 3. Дифференцирование нелинейных операторов и некоторые теоремы, с этим связанные
Добавление II. Числа и многочлены Бернулли
§ 1. Числа Бернулли
§ 2. Многочлены Бернулли и их свойства
§ 3. Периодические функции, связанные с многочленами Бернулли
§ 4. Представление произвольной функции при помощи многочленов Бернулли
Добавление III. Алгебраические многочлены наилучшего приближения
Добавление IV. Некоторые сведения об уравнениях в конечных разностях
§ 1. Уравнения в конечных разностях произвольного вида
§ 2. Линейные уравнения
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами