- Артикул:00-01118857
- Автор: Л. Шварц
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: МИР (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 824
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1972
- Вес: 1159 г
Развернуть ▼
Репринтное издание
Имя Лорана Шварца - одного из крупнейших математиков современности - хорошо известно советским специалистам.
Его двухтомный курс существенно отличается от всех имеющихся книг по анализу. Изложение характеризуется глубоким взаимопроникновением методов классического и функционального анализа, современной алгебры и топологии. Следует отметить также блестящий стиль курса, умение автора выделить основное, объяснить значение тех или иных идеи.
Первый том включает теорию множеств, топологию, дифференциальное и интегральное исчисление.
Книга Л. Шварца, несомненно, заинтересует преподавателей математики, научных работников в области математики, физики и механики, а также инженеров и будет весьма полезна студентам университетов, педагогических институтов и высших технических учебных заведении с углубленным изучением математики.
См. также Анализ. Том II
Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава I. Теория множеств
§ 1. Множества. Элементарные операции
Части множества
Отношение включения. Дополнение
Объединение. Пересечение
Произведение множеств
§ 2. Отображения. Функции
Примеры отображений
Инъекции. Сюръекции. Биекции
Образ и прообраз подмножества
Множество отображении. Семейства. Последовательности
Композиция отображений
Замена переменных и замена функций
§ 3. Отношения эквивалентности. Фактормножество
Классы эквивалентности. Разбиения
Фактормножество
Факторгруппа по инвариантной подгруппе
Факторпространство векторного пространства по векторному подпространству
§ 4. Отношения порядка
Примеры отношений порядка
Мажорируемые части. Мажоранты. Максимум. Точная верхняя грань
Возрастающие функции
Пополненная прямая
§ 5. Мощности. Счетные множества
Мощности. Кардинальные числа
Счетные множества
Мощность континуума
Трансцендентные числа
Континуум-гипотеза
§ 6. Некоторые основные понятия логики
Глава II. Топология
§ 1. Метрические пространства. Элементарные примеры
Сферы. Шары
Нормированные векторные пространства
§ 2. Открытые и замкнутые части. Окрестности. Внутренность. Граница. Замыкание. Плотные подмножества
Открытые части
Замкнутые части
Окрестности
Внутренность
Внешность
Граница
Замыкание
Плотные подмножества
Подпространства. Индуцированная метрика
§ 3. Непрерывные функции. Гомеоморфизмы
Гомеоморфизмы
§ 4. Метрические пространства и топологические пространства
Топология пополненной прямой R
§ 5. Последовательности. Пределы. Сходимости
§ 6. Топологическое произведение
Сходящиеся последовательности в произведении
Непрерывные функции многих переменных
Топологические группы. Топологические векторные пространства
Раздельная непрерывность функции двух переменных
§ 7. Компактные пространства. Элементарные свойства
Локально компактные пространства
Точка сгущения последовательности
Верхний и нижний пределы вещественной последовательности
§ 8. Свойства непрерывных функций на компактных пространствах
Равномерная непрерывность
§ 9. Связные пространства
Линейно связные пространства
§ 10. Дополнение по общей топологии связных пространств
Некоторые применения понятия связности. Критерии негомеоморфности
Существование и непрерывность обратной функции для строгой монотонной непрерывной функции
Применение: метрики, определяющие топологию в R
§ 11. Полные метрические пространства
Продолжение равномерно непрерывных отображений
Частные свойства конечномерных топологических векторных пространств
§ 12. Теорема о неподвижной точке
§ 13. Элементарная теория нормированных векторных пространств и пространств Банаха
Ядро и образ непрерывного линейного отображения
Произведения нормированных векторных пространств
Билинейные непрерывные отображения произведения нормированных векторных пространств в нормированное векторное пространство
Мультилинейные непрерывные отображения
Алгебры. Нормированные алгебры
§ 14. Ряды в нормированных векторных пространствах
Перестановка членов ряда
Суммирование по блокам безусловно сходящегося ряда
Действие линейного непрерывного отображения на ряд
Произведение двух числовых рядов. Применение билинейного непрерывного отображения к двум рядам
Обратимые отображения в банаховых пространствах
Критерий условной сходимости
§ 15. Наиболее употребительные примеры функциональных пространств
Сходимость простая и равномерная
Функциональные пространства
Простая сходимость последовательности функции
Равномерная сходимость последовательности функций
Другие применения выражения «равномерная сходимость»
Пространства, порожденные структурами пространств Е и F
Непрерывность локально равномерного предела последовательности непрерывных функций
Некоторые контрпримеры
Ряды функций со значениями в нормированном векторном пространстве
§ 16. Бесконечные произведения вещественных или комплексных чисел и функций
Бесконечные произведения и логарифмические ряды
Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций
Применение к функции C Римана
Глава III. Дифференциальное исчисление
§ I. Аффинные пространства
Аффинные многообразия
Линейные отображения. Аффинные отображения
Аффинные нормированные пространства
Выпуклые множества в аффинных пространствах
Евклидовы векторные и евклидовы аффинные пространства
Эрмитовы векторные и эрмитовы аффинные пространства
Изоморфизм (или полуизоморфизм) конечномерного евклидова (или эрмитова) пространства и его сопряженного пространства
Ортонормированные базисы
Обобщенные евклидовы или эрмитовы пространства
§ 2. Вещественные функции вещественной переменной. Непрерывность справа и слева
Разрывы первого рода. Правильные функции
Производная вещественной функции вещественной переменной
Монотонные функции
Дифференцируемые функции и теоремы о промежуточных значениях
Выпуклые функции
§ 3. Производная отображения одного аффинного пространства в другое. Производный вектор функции скалярной переменной
Общин случай. Частная производная вдоль вектора
Матрица Якоби. Якобиан
Недостатки понятия производной вдоль вектора
Полная производная, или производное отображение
Понятие дифференциала
Геометрическая интерпретация производного отображения: дифференцируемое многообразие и линейное касательное многообразие
Градиент вещественной функции в евклидовом пространстве
Случай, когда F является произведением аффинных пространств
Случай, когда Е является произведением аффинных пространств
Частные производные отображения
Производная билинейного непрерывного отображения
Дифференцируемые функции. Непрерывно дифференцируемые функции
Примеры непрерывно дифференцируемых функций
Пространства дифференцируемых функций
§ 4. Теорема о сложной функции
Примеры вычисления обычных производных
§ 5. Формула конечных приращений
Полная дифференцируемость и частная дифференцируемость
§ 6. Производные высших порядков
Последовательные производные
Случай произведения пространств. Полная и частная дифференцируемости
Пространства и раз дифференцируемых функций
Производная произведения (формула Лейбница)
§ 7. Формула Тейлора. Максимум и минимум
Применение формулы Тейлора для вычисления производных
Формула Тейлора относительно некоторой системы координат
Применение к изучению максимумов и минимумов. Определения
Необходимые условия экстремума
Нахождение необходимых и достаточных условий экстремума функции
Частный случай вещественной функции f двух вещественных переменных х, у
Применение формулы Тейлора к изучению расположения гиперповерхности по отношению к касательной гиперплоскости
§ 8. Теорема о неявной функции. Постановка задачи
Существование неявной функции
Дифференцируемость неявной функции
Дифференцируемость функции и?и-1 на (F, G)
Частный случай, когда Е = F = G = К -скалярное поле
Случай, когда Е, F, G конечномерны
Обратная функция как неявная функция
Вычисление производных высших порядков неявной функции
Техника замены переменных и замены функций
§ 9. Дифференцируемые многообразия
Определение многообразия при помощи его параметрического представления
Определение многообразия с помощью неявных уравнений
Вещественные и комплексные многообразия
Абстрактные многообразия
Векторное пространство, касательное в точке к многообразию
аффинного пространства Е размерности N
Векторное пространство, касательное к абстрактному многообразию в точке
Теорема о постоянном ранге
Зависимые и независимые функции
Особые, или параметрические, многообразия
§ 10. Условные максимумы и минимумы
Практический способ вычисления условного максимума или минимума
Применение теории условных максимумов. Неравенства Гельдера и Минковского
§11. Вариационное исчисление
Постановка задачи
Дифференцируемость j
Необходимые условия экстремума
Лемма Хаара
Простые случаи интегрируемости уравнении Эйлера
Уравнение геодезических на поверхности
Относительный экстремум
Замена переменных
Приложение к задаче о геодезических
Переменные концы. Условие трансверсальности
Применение к геодезическим кривым
Канонические уравнения Гамильтона
Применения к механике
Вариационное исчисление для кратных интегралов
Глава IV. Интегральное исчисление
§ 1. Интеграл Римана на прямой
Ступенчатые функции
Верхний интеграл Римана от ограниченной функции f > 0 с компактным носителем
Интегрируемые функции со значениями в пространстве Банаха
Интеграл от интегрируемой функции
Примеры интегрируемых по Риману функций
Вычисление интеграла функции с помощью сумм Коши - Римана Среднее значение функции на интервале
§ 2. Меры Радона на локально компактном пространстве
Мера Радона на компактном пространстве
Примеры мер Радона
Меры на локально компактном пространстве
Примеры мер Радона
Применения к механике и физике
Векторные меры
Разложение единицы
Носитель меры Радона
Продолжение меры на непрерывные функции ф с некомпактным носителем
Принцип кусочной склейки мер
Комплексные и вещественные меры
Вещественные положительные меры
Решетки
§ 3. Продолжение положительной меры. Теория Лебега
Внешние меры открытых множеств
Внутренняя мера компакта
Измеримые множества. Мера множеств
Множества нулевой меры
Свойства, выполняющиеся почти всюду
µ-измеримые функции со значениями в метризуемом сепарабельном пространстве
µ -этажные функции
Борелевские функции
Интеграл от векторной этажной функции
Верхний интеграл от вещественной неотрицательной функции
Интегрируемость функций с векторными значениями
Интеграл Лебега от функции с векторными значениями
Интегрируемость и интегралы от функций, определенных почти всюду
§ 4. Теорема Лебега о сходимости. Пространство L1
Примеры применений теоремы Лебега
Характеристика интегрируемых функций. Интегрируемость и измеримость
Теория интегрирования, основанная на свойствах непрерывных полунепрерывных снизу функций
Пространства Яр(X, µ; F)
Пространства Яр ( X, µ; F). Теорема Фишера - Рисса
Пространства Я?(F) и L?(F)
Продолжение мер, не обладающих свойством неотрицательности
§ 5. Умножение меры на функцию
Произведение векторной меры на непрерывную скалярную функцию
Элементарные свойства
Случай когда µ- вещественная мера ? 0
Мера с базой µ. Мера с базой ? 0
Применение к продолжению меры с векторными значениями
Применение к интегрируемости функции по нескольким мерам
Сопряженность пространств Lp и Lp'
§ 6. Образ меры при отображении
Случай, когда Н является гомеоморфизмом X на Y
Обобщение теоремы 59 на случай, когда µ не ? 0
Различные примеры образов мер
§ 7. Широкая сходимость мер Радона
Сходимость по норме. Локальная сходимость по норме
Широкая сходимость
Функции, µ -интегрируемые по Риману
Широкая сходимость и равномерная сходимость
Компактные подмножества пространства Ск(Х)
Широкая сходимость последовательности мер к мере Дирака
Узкая сходимость последовательности мер конечной нормы
Сходимость широкая и сходимость узкая
§ 8. Тензорное произведение мер. Кратные интегралы
Постановка задачи
Существование и единственность тензорного произведения
Примеры тензорных произведений
Элементарные свойства
Носитель меры
Вычисление двойного интеграла путем двух последовательных простых интегрирований
Случай, когда интегрируемая функция является произведением функции от х и функции от y
Окончание доказательства прямого утверждения теоремы
Обобщение на произвольные кратные интегралы
Широкая сходимость тензорных произведений
§ 9. Частные свойства мер Радона на вещественной прямой R
Введение символа ba dµ
Неопределенные интегралы
Функции с ограниченной вариацией на прямой
Функция, удовлетворяющая условию Липшица на ограниченно интервале R1 прямой R, имеет ограниченную вариацию
Функции ограниченной вариации и неопределенные интеграл
Длина пути в метрическом пространстве
Неопределенный интеграл и первообразная
Последовательные первообразные непрерывной функции на прямой
Формула интегрирования по частям
Замена переменных при вычислении простых интегралов
Несобственные интегралы на прямой
Примеры применения критерия Абеля
Главное значение в смысле Коши
§ 10. Кратные интегралы на Rn. Длины, площади и объемы в конечномерном аффинном евклидовом пространстве. Замена переменных в кратных интегралах на Rn
Измерение объемов в аффинных евклидовых конечномерных пространствах
Измерение длин в аффинном евклидовом пространстве
Измерение мерных площадей в линейном многообразии размерности n аффинного евклидова конечномерного пространства
n-мерная площадь n-мерного параметрического многообразия
Вычисление объемов с помощью поверхностных интегралов
§ 11. Функции, представимые рядами или интегралами
Функции, представимые рядами
Непрерывность суммы ряда
Интегрируемость суммы ряда относительно некоторой меры ? 0
Дифференцируемость суммы ряда
Дифференцируемость бесконечного произведения
Функции, представимые интегралами
Непрерывность функции, представимой интегралом
Интегрируемость функции, представимой интегралом
Дифференцируемость функции, представимой интегралом
Случаи несобственных сходящихся интегралов
Применение к делимости дифференцируемых функций
Предметный указатель