- Артикул:00-01107335
- Автор: Богданов Ю.С., Сыроид Ю.Б.
- Тираж: 7500 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Вышэйшая школа (все книги издательства)
- Город: Минск
- Страниц: 239
- Формат: 60 90/16
- Год: 1983
- Вес: 376 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Пособие содержит основной учебный материал по курсу дифференциальных уравнений. Излагаются линейные (дифференциальные) уравнения с постоянными коэффициентами, линейные векторные уравнения со стационарным оператором, элементарные уравнения, общая теория и исследование обыкновенных уравнений и систем в нормальной форме, голоморфные уравнения, уравнения в частных производных 1-го порядка.
Пособие предназначено для студентов факультетов прикладной математики и механико-математических факультетов, а также для студентов и преподавателей других факультетов с расширенной программой по математике.
Содержание
Основные обозначения и сокращения
Предисловие
Введение
1. Основные понятия
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения. 1.2. Простейшее уравнение 1-го порядка. 1.3. Простейшее уравнение произвольного порядка. 1.4. Граничная задача для П-2. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
2. Простейшие уравнения с квазиполиномом
2.1. Комплекснозначные решения. 2.2. Квазиполиномы. 2.3. Простейшее уравнение 1-го порядка с квазиполиномом. 2.4. Простейшее уравнение 1-го порядка с действительным квазиполиномом. 2.5. Простейшее уравнение с квазиполиномом. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
I. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
3. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. 3.1. Линейные уравнения. 3.2. Уравнение Л-1 со стационарным оператором (СтЛ-1). 3.3. Начальная задача для уравнения со стационарным оператором. 3.4. Построение полного решения. 3.5. Базис однородного линейного уравнения со стационарным оператором. 3.6. Вронскиан. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
4. Фазовая плоскость однородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
4.1. Фазовые графики. 4.2. Направление движения по фазовому графику. 4.3. O-графики. 4.4. Седло. 4.5. Узлы. 4.6. Фокус и центр. 4.7. Классификация точек покоя. 4.8. Прямая покоя. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
5.1. Разложение оператора. 5.2. Нулевая начальная задача для линейного уравнения с постоянными коэффициентами. 5.3. Функция Коши. 5.4. Разрешение линейного уравнения с постоянными коэффициентами. 5.5. Метод вариации произвольных постоянных. 5.6. Уравнение СтЛ с квазиполиномом. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
6. Исследование линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 6.1. Локальные свойства канонического общего решения линейного уравнения с постоянными коэффициентами. 6.2. Свойства канонического общего решения на отрезке. 6.3. Устойчивость по Ляпунову. 6.4. Асимптотическая устойчивость. 6.5. Двусторонняя устойчивость. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
II. Линейные векторные уравнения со стационарным оператором
7. Разрешение линейных векторных уравнений со стационарным оператором. 7.1. Линейные векторные уравнения и системы линейных уравнений. 7.2. Специальные СтЛВ. 7.3. Разрешение СтЛВ. 7.4. Сведение линейной системы к совокупности независимых уравнений. 7.5. Однородные линейные векторные уравнения. 7.6. Правило Эйлера разрешения однородных систем СтЛС. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
8. Экспонентное представление решений линейных векторных уравнений со стационарным оператором
8.1. Экспонента матрицы. 8.2. Разрешение однородного СтЛВ. 8.3. Разрешение неоднородного уравнения СтЛВ по правилу Коши. 8.4. Разрешение неоднородного уравнения СтЛВ по правилу Лагранжа. 8.5. Вычисление экспоненты. 8.6. Приближенное решение уравнения СтЛВ. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
9. Исследование системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
9.1. Интегралы уравнения СтЛВ. 9.2. Сопряженные матричные уравнения СтЛ. 9.3. Правило Даламбера разрешения уравнения СтЛВ. 9.4. Устойчивость решений уравнения СтЛВ. 9.5. Форма Ляпунова. 9.6. Фазовая плоскость для однородного уравнения СтЛВ-2. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
III. Элементарные дифференциальные уравнения
10. Уравнения 1-го порядка в нормальной дифференциальной форме. 10.1. Решения и пути. 10.2. Поле наклонов. 10.3. Решения в неявной форме и линии уравнения. 10.4. Общее решение и общий интеграл. 10.5. Однопараметрические семейства линий. 10.6. Классификация фазовых точек. 10.7. Уравнение в полных дифференциалах. 10.8. Разрешение уравнения в полных дифференциалах. 10.9. Начальная задача для уравнения в полных дифференциалах. 10.10. Уравнение с разделенными переменными. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
11. Элементарные уравнения 1-го порядка в нормальной форме
11.1. Основные типы элементарных уравнений. 11.2. Формальное интегрирование уравнений. 11.3. Преобразование уравнения. 11.4. Уравнение с разделяющимися переменными. 11.5. Интегрирующий множитель. 11.6. Линейное уравнение 1-го порядка. 11.7. Замена переменных. 11.8. Полярное преобразование. 11.9. Уравнения, преобразуемые к Л-1. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
12. Исследование общего решения уравнения 1-го порядка в нормальной дифференциальной форме
12.1. Побочные решения. 12.2. Доопределение общего решения. 12.3. Особые решения. 12.4. Составные решения. 12.5. Уравнение Риккати. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
13. Уравнения 1-го порядка в общей форме
13.1. Уравнение 1-го порядка в общей дифференциальной форме. 13.2. Поле наклонов и его характеристики. 13.3. Классификация фазовых точек. 13.4. Уравнение 1-го порядка, алгебраическое относительно дифференциалов. 13.5. Уравнение в производных в общей форме.. 13.6. Ветвление решений. 13.7. Изоклины. 13.8. Построение параметрических решений. 13.9. Построение ортогональных траекторий. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
14. Понижение порядка уравнения
14.1. Первый интеграл уравнения n-го порядка. 14.2. Неполные уравнения. 14.3. Однородные уравнения n-го порядка. 14.4. Справочник Камке. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения общего вида
15. Разрешимость дифференциальных уравнений. 15.1. Дифференциальные системы в нормальной форме. 15.2. Задача Коши для системы в нормальной форме. 15.3. Разрешимость задачи Коши. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
16. Однозначная разрешимость дифференциальных уравнений
16.1. Условие Липшица. 16.2. Лемма Гронвола. 16.3. Однозначная разрешимость задачи Коши. 16.4. Теорема Осгуда единственности решения. 16.5. Приближенное интегрирование уравнений. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
17. Сравнение решений и продолжимость
17.1. Существование продолженных решений. 17.2. Критерий продолжимости решений. 17.3. Метод сравнения. 17.4. Продолжимость решений линейных уравнений. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
18. Зависимость решений от параметров и начальных данных
18.1. Интегральная непрерывность решений по параметрам. 18.2. Интегральная непрерывность решений по начальным данным. 18.3. Дифференцирование по параметру и начальным данным. 18.4. Линейное векторное уравнение в вариациях. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
19. Первые интегралы
19.1. Первые интегралы и интегрируемые комбинации. 19.2. Системы в симметрической форме. 19.3. Редукция уравнения. 19.4. Общий вид первого интеграла. 19.5. Базис первых интегралов. 19.6. Общее решение. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
V. Исследование векторных дифференциальных уравнений
20. Периодические линейные векторные уравнения
20.1. Однозначная разрешимость начальной задачи для линейных уравнений. 20.2. Матрицант уравнения. 20.3. Системы Лаппо-Данилевского. 20.4. Приводимые по Ляпунову системы. 20.5. Периодические линейные векторные уравнения. 20.6. Матрица монодромии. 20.7. Приводимость периодических линейных векторных уравнений. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
21. Устойчивость линейных векторных уравнений
21.1. Устойчивость и асимптотическая устойчивость. 21.2. Общие теоремы об устойчивости решений линейных векторных уравнений. 21.3. Устойчивость приводимых линейных векторных уравнений. 21.4. Устойчивость линейных уравнений с функционально коммутативной матрицей коэффициентов. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
22. Метод функций Ляпунова
22.1. Устойчивость нулевого решения. 22.2. Функции Ляпунова и устойчивость. 22.3. Асимптотическая устойчивость. 22.4. Неустойчивость. 22.5. Устойчивость квазилинейных уравнений. 22.6. Устойчивость по первому приближению. 22.7. Уравнение с приводимым первым приближением. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
23. Колеблемость решений линейных уравнений 2-го порядка
23.1. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения. 23.2. Приведение уравнения к каноническому виду. 23.3. Теорема сравнения Штурма. 23.4. Случай бесконечного множества нулей. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
24. Автономные уравнения на плоскости
24.1. Траектории автономного уравнения. 24.2. Предельные множества решений. 24.3. Теорема Пуанкаре — Бендиксона. 24.4. Трансверсали уравнения. 24.5. Предельные циклы. 24.6. Принцип кольца. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
VI. Голоморфные уравнения
25. Линейное уравнение Эйлера
25.1. Приведение уравнения Эйлера к стационарному уравнению. 25.2. Однородное уравнение Эйлера. 25.3. Начальная задача для уравнения Эйлера. 25.4. Представление решения однородного уравнения Эйлера степенным рядом. 25.5. Построение решения однородного уравнения Эйлера методом неопределенных коэффициентов. 25.6. Представление решения неоднородного уравнения Эйлера в виде степенного ряда. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
26. Линейные уравнения с голоморфными коэффициентами
26.1. Линейные голоморфные уравнения. 26.2. Формальные ряды. 26.3. Формальные решения. 26.4. Мажоранта. 26.5. Существование голоморфных решений. 26.6. Общее решение. 26.7. Уравнение Эйри. Основные упражнения. Дополнительные упражнения
Рекомендуем
