- Артикул:00-01118172
- Автор: Г. П. Толстов
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 520
- Формат: 60х90/16
- Год: 1974
- Вес: 724 г
- Серия: Учебник для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Книга представляет собой классическое введение в курс математического анализа. В томе излагаются основные понятия теории действительных чисел и функций одной переменной, включая пределы, непрерывность и дифференциальное исчисление.
См. также Элементы математического анализа. Том II
Содержание
Предисловие
Введение
Глава 1. Действительные числа. Начальные сведения о функции
§ 1. Действительные числа
§ 2. Числовая ось
§ 3. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства
§ 4. Приближенное значение величины; абсолютная и относительная погрешности
§ 5. Числовые множества. Окрестность точки
§ 6. Переменная величина
§ 7. Функция
§ 8. Рациональные функции
§ 9. Тригонометрические функции
Глава II. Предел числовой последовательности
§ 1. Числовые последовательности. Переменная, пробегающая последовательность значений
§ 2. Предел последовательности. Предел переменной, пробегающей последовательность значений
§ 3. Бесконечно малые; их связь с понятием предела
§ 4. Бесконечно большие; их связь с бесконечно малыми
§ 5. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над переменными
§ 6. Свойства конечных пределов, связанные с неравенствами
Глава III. Предел функции и непрерывность
§ 1. Предел функции; бесконечно малые и бесконечно большие
§ 2. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
§ 3. Свойства конечных пределов функций, связанные с неравенствами
§ 4. Непрерывность. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций
§ 5. Точки разрыва; их классификация. Односторонние пределы
Глава IV. Производная
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
§ 2. Производная
§ 3. Формула для приращения функции, имеющей конечную производную; непрерывность такой функции
§ 4 Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
§ 5 Производные высших порядков. Формула Лейбница для n-й производной от произведения двух функций
Глава V. Сложные, монотонные, обратные функции. Элементарные функции
§ 1. Сложные функции
§ 2. Предел сложной функции. Правило замены переменной в операции перехода к пределу
§ 3. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Теорема о непрерывности сложной функции
§ 4. Теорема о производной сложной функции
§ 5. Верхняя и нижняя грани числового множества и переменной величины
§ 6. Монотонные функции и монотонные последовательности
§ 7. Предел монотонной последовательности
§ 8. Предел монотонной функции
§ 9. Лемма о сохранении знака
§ 10. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
§ 11. Обратные функции. Понятие о многозначных функциях. Теорема о непрерывности обратной функции
§ 12. Радикал
§ 13. Обратные тригонометрические (или круговые) функции
§ 14. Производная обратной функции
§ 15 Показательная функция, ее непрерывность
§ 10 Логарифмическая функция, ее непрерывность
§ 17. Число е Натуральные логарифмы
§ 18. Пределы, связанные с числом е
§ 19. Производные показательной функции и логарифма
§ 20. Гиперболические функции
§ 21. Степенная функция с произвольным действительным показателем
§ 22. Сводка формул для производных
§ 23 Основные элементарные функции. Класс всех элементарных функций; теорема непрерывности
§ 24. Точки аналитичности элементарной функции; теорема дифференцируемости
Глава VI. Предел функции и непрерывность (продолжение)
§ 1. Условие (е-6) существования предела функции и аналогичные условия
§ 2. Условие (е-6) непрерывности функции в точке
§ 3. Два важных свойства функции, непрерывной на отрезке
§ 4 Равномерная непрерывность
Глава VII. Дифференциал
§ 1. Порядки бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
§ 2. Дифференциал
§ 3. Сводка формул для дифференциалов
§ 4. Дифференциал сложной функции; инвариантность формы дифференциала
§ 5. Дифференциалы высших порядков
§ 6. Дифференциалы высших порядков сложной функции; нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков
Глава VIII. Теоремы о производных. Исследование функций
§ 1. Максимумы и минимумы
§ 2. Теорема Ферма о производной в точке экстремума
§ 3. Теорема Ролля
§ 4. Теорема Коши
§ 5. Теорема Лагранжа
§ 6. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
§ 7. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей)
§ 8. Приложение правила Лопиталя к вычислению производных; случай бесконечной производной
§ 9. Формула Тейлора для многочлена
§ 10. Формула Тейлора в общем случае
§ 11. Отыскание экстремумов
§ 12. Отыскание наибольших и наименьших значений функций
§ 13. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
§ 14. Отыскание асимптот
§ 15. Построение графиков функций по характерным точкам
§ 16. Связь между производными при замене независимой переменной; выражение производной через дифференциалы по новой переменной
§ 17. Приближенное решение уравнений
Глава IX. Расширение понятия функции. Функции многих переменных; предел; непрерывность
§ 1. Расширение понятий переменной и функции
§ 2. Функции нескольких переменных
§ 3. Пространства двух, трех и большего числа измерений. Шар, параллелепипед, непрерывные линии в многомерном пространстве
§ 4. Окрестность точки; замкнутые и открытые множества пространства нескольких измерений; области
§ 5. Элементарные функции; точки аналитичности
§ 6. Явные и неявные уравнения
§ 7. Функции, задаваемые неявно
§ 8. Предел функции нескольких переменных Бесконечно малые и бесконечно большие
§ 9. Непрерывность
Глава X. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная. Два вида задач, приводящих к понятию интеграла
§ 2. Общий вид первообразной для данной функции. Неопределенный интеграл
§ 3. Простейшие свойства неопределенного интеграла
§ 4. Сводка формул для интегралов. Непосредственное интегрирование
§ 5. Интегрирование разложением
§ 6. Интегрирование подстановкой
§ 7. Интегрирование по частям
§ 8. Интегрирование простейших рациональных дробей
§ 9. Некоторые типы интегралов
Глава XI. Определенный интеграл
§ 1. Площадь плоской фигуры
§ 2. Производная от площади переменной криволинейной трапеции. Существование первообразной для всякой непрерывной функции
§ 3. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла
§ 4. Свойства определенного интеграла от непрерывной функции
§ 5. Замена переменной
§ 6. Интегрирование четных и нечетных функций
§ 7. Интегрирование по частям
§ 8. Определенный интеграл как функция пределов интегрирования
§ 9. Теорема о среднем значении
§ 10. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
§ 11. Вычисление площадей простых фигур
§ 12. Вычисление площади сектора кривой, заданной полярным уравнением
§ 13. Объем тела
§ 14. Вычисление объема тела, площади поперечных сечений которого известны. Объем тела вращения
§ 15. Длина кривой линии
§ 16. Длина переменной дуги, ее производная и дифференциал. Переменная дуга в роли параметра
§ 17. Площадь поверхности вращения
§ 18. Отыскание координат центра тяжести кривой линии
§ 19. Приближенное интегрирование
Глава XII. Интегрирование разрывных функций. Несобственные интегралы
§ 1. Обобщенная первообразная
§ 2. Обобщение признаков возрастания, убывания и постоянства функций
§ 3. Свойства обобщенных первообразных
§ 4. Интеграл от разрывной функции. Формула Ньютона-Лейбница
§ 5. Простейшие свойства интегралов от разрывных функций
§ 6. Условие интегрируемости функции с одной точкой разрыва
§ 7. Признаки интегрируемости неотрицательных функций
§ 8. Интегрируемость всякой ограниченной функции с конечным числом разрывов
§ 9. Интегрирование неограниченных функций
§ 10. Абсолютно интегрируемые функции
§ 11. Интегрирование по частям
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Глава XIII. Вектор-функции. Элементы дифференциальной геометрии
§ 1. Вектор-функции скалярного аргумента
§ 2. Векторное уравнение пространственной кривой. Касательная к ней. Нормальная плоскость
§ 3. Единичный вектор касательной к пространственной кривой
§ 4. Кривизна пространственной кривой
§ 5. Понятие о естественном трехграннике
§ 6. Некоторые приложения к механике. Скорость и ускорение движущейся точки
§ 7. Случай плоской кривой! касательная, кривизна, радиус кривизны
§ 8. Круг и центр кривизны плоской кривой
§ 9. Эволюты и эвольвенты
Глава XIV. Комплексные числа и комплексные функции
§ 1. Комплексные числа и арифметические действия над ними
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Модуль и аргумент, их свойства
§ 3. Возведение в степень; формула Муавра
§ 4. Извлечение корня
§ 5. Комплексный показатель степени. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа
§ 6. Предел последовательности комплексных чисел
§ 7. Комплексные функции действительной переменной
§ 8. Функции комплексной переменной
Глава XV. Свойства многочленов. Рациональные дроби
§ 1. Формула Тейлора для многочлена в случае комплексных значений коэффициентов и переменной
§ 2. Корни многочлена. Разложение многочлена на линейные множители
§ 3. Единственность многочлена степени не выше n, принимающего заданные значения в n + 1 точках
Интерполяционная формула Лагранжа
§ 4. Признак кратности корня многочлена
§ 5. Свойства многочленов с действительными коэффициентами; разложение таких многочленов на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами
§ 6. Рациональные дроби, разложение на простейшие
§ 7. Приложения к интегрированию рациональных дробей
§ 8. Приложения к интегрированию некоторых иррациональностей
Глава XVI. Многомерные векторы. Начальные сведения о матрицах
§ 1. Многомерные векторы; умножение на число; сложение и вычитание; скалярное произведение; ортогональность; базис
§ 2. Матрицы; умножение на число; сложение и вычитание матриц
§ 3. Умножение матрицы на вектор
§ 4. Квадратные матрицы
§ 5. Линейные преобразования на плоскости
§ 6. Геометрический смысл определителя матрицы линейного преобразования на плоскости
§ 7. Собственные векторы и собственные значения матрицы второго порядка; характеристическое уравнение
§ 8. Симметричные матрицы второго порядка; существование действительных ортогональных собственных векторов
§ 9. Квадратичная форма двух переменных и се приведение к каноническому виду
§10. Линейные преобразования в пространстве n-измерений. Собственные векторы и собственные значения матрицы любого порядка. Квадратичные формы нескольких переменных
§ 11. Произведение матриц. Обратная матрица
§ 12. Дифференцирование и интегрирование векторов и матриц
Несколько советов, касающихся преподавания
Предметный указатель