Элементы высшей математики: учебник (10-е издание, стереотипное)

В учебнике представлены все основные разделы высшей математики: элементы теории множеств, линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления; числовые последовательности; обыкновенные дифференциальные уравнения.
Теоретическую часть учебника дополняет большое количество практических задач; в приложении дано краткое описание пакета прикладных программ по математике MAPLE.
Учебник может быть использован при изучении дисциплины в естественно-научном цикле в соответствии с требованиями ФГОС СПО для укрупненной группы специальностей 230000 «Информационная и вычислительная техника».
Для студентов технических специальностей учреждений среднего профессионального образования.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Элементы теории множеств
1.1. Понятие множества. Операции над множествами
1.2. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества
1.3. Числовые множества. Действительные числа
Глава 2. Элементы линейной алгебры
2.1. Матрицы и действия над ними
2.2. Определители матриц
2.2.1. Основные определения
2.2.2. Свойства определителя
2.3. Обратная матрица
2.4. Системы линейных алгебраических уравнений
2.4.1. Основные понятия
2.4.2. Правило Крамера
2.4.3. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений
Глава 3. Элементы аналитической геометрии
3.1. Геометрические векторы и действия над ними
3.2. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве
3.3. Понятие уравнения линии и уравнения поверхности
3.4. Различные виды уравнения прямой на плоскости
3.4.1. Общее уравнение прямой
3.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
3.4.3. Уравнение прямой «в отрезках»
3.5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве
3.5.1. Общее уравнение плоскости
3.5.2. Уравнение плоскости «в отрезках»
3.5.3. Нормированное уравнение плоскости
3.6. Уравнения прямой в пространстве
3.6.1. Общие уравнения прямой
3.6.2. Канонические уравнения прямой в пространстве
3.6.3. Параметрические уравнения прямой в пространстве
3.7. Кривые второго порядка на плоскости
3.7.1. Понятие кривой второго порядка
3.7.2. Эллипс
3.7.3. Гипербола
3.7.4. Парабола
3.8. Поверхности второго порядка
3.8.1. Общее уравнение поверхности второго порядка
3.8.2. Эллипсоид
3.8.3. Гиперболоиды
3.8.4. Конус
3.8.5. Эллиптический параболоид
3.8.6. Гиперболический параболоид
3.8.7. Цилиндры
Глава 4. Числовые последовательности и их пределы
4.1. Ограниченные и неограниченные последовательности
4.2. Бесконечно малые последовательности
4.3. Предел числовой последовательности
4.3.1. Основные определения
4.3.2. Свойства сходящихся последовательностей
4.4. Монотонные последовательности. Число «е»
Глава 5. Предел функции одной вещественной переменной. Непрерывность
5.1. Определение функции
5.2. Предел функции
5.2.1. Определение. Таблица замечательных пределов
5.2.2. Основные свойства пределов функции
5.3. Бесконечно малые функции. Метод эквивалентных бесконечно малых величин
5.4. Непрерывные функции
5.4.1. Основные определения
5.4.2. «Арифметические» свойства непрерывных функций
5.4.3. Непрерывность сложной функции
5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
5.5.1. Теорема о нуле непрерывной функции
5.5.2. Теоремы Вейерштрасса
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной вещественной переменной
6.1. Производная функции. Основные правила дифференцирования
6.1.1. Определение. Таблица производных
6.1.2. «Арифметические» свойства производной
6.1.3. Производная сложной функции
6.1.4. Геометрический смысл производной
6.2. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
6.3. Следствия из теорем о среднем (монотонность, правило Лопиталя)
6.3.1. Критерий монотонности
6.3.2. Правило Лопиталя
6.4. Первый дифференциал функции, связь с приращением функции
6.5. Производные и дифференциалы высших порядков
6.6. Формула Тейлора
6.7. Экстремумы функций
6.7.1. Необходимое условие экстремума
6.7.2. Достаточные условия экстремума
6.8. Выпуклые функции. Точки перегиба
6.8.1. Определение. Критерий выпуклости
6.8.2. Исследование точек перегиба
6.9. Асимптоты. Общая схема построения графиков
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной вещественной переменной
7.1. Первообразная и неопределенный интеграл
7.1.1. Первообразная. «Почти единственность» первообразной
7.1.2. Таблица неопределенных интегралов
7.2. Основные правила неопределенного интегрирования
7.3. Задача нахождения площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл
7.4. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем
7.5. Формула Ньютона—Лейбница
7.5.1. Определенный интеграл как функция верхнего предела
7.5.2. Вывод формулы Ньютона—Лейбница
7.6. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле
7.7. Приложения определенного интеграла
7.7.1. Вычисление площади плоской фигуры
7.7.2. Вычисление длины кривой
7.7.3. Вычисление объема и площади поверхности тел вращения
7.8. Несобственные интегралы
7.8.1. Определение несобственного интеграла
7.8.2. Теоремы сравнения
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
8.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
8.2. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных
8.2.1. Частное дифференцирование. Понятие непрерывно дифференцируемой функции
8.2.2. Дифференциал и его связь с приращением функции
8.2.3. Правила частного дифференцирования
8.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
8.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
8.4.1. Частные производные высших порядков
8.4.2. Дифференциалы высших порядков
8.4.3. Формула Тейлора
8.5. Экстремумы функции. Задача о наибольшем и наименьшем значениях
8.5.1. Необходимые условия экстремума
8.5.2. Достаточные условия экстремума
8.5.3. Условный экстремум. Метод множителя Лагранжа
8.5.4. Задача о наибольшем и наименьшем значениях
Глава 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
9.1. Объем цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла
9.1.1. Основные определения
9.1.2. Свойства двойных интегралов. Теорема о среднем
9.2. Вычисление двойного интеграла с помощью повторного интегрирования (формула редукции)
9.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
9.4. Приложения двойного интеграла
9.4.1. Вычисление объемов
9.4.2. Площадь криволинейной поверхности
Глава 10. Основы теории рядов
10.1. Числовые ряды
10.1.1. Рады сходящиеся и расходящиеся
10.1.2. Необходимое условие сходимости ряда
10.1.3. Критерий Коши сходимости рада
10.1.4. Свойства радов
10.1.5. Рады с положительными членами
10.1.6. Теоремы сравнения для радов с положительными членами
10.1.7. Признаки Даламбера и Коши
10.1.8. Интегральный признак сходимости
10.1.9. Знакочередующиеся рады
10.1.10. Знакопеременные рады
10.1.11. Признаки абсолютной сходимости рядов
10.2. Функциональные ряды
10.2.1. Область сходимости функционального ряда
10.2.2. Равномерная сходимость функционального рада
10.2.3. Критерий Коши равномерной сходимости рада
10.2.4. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рада
10.2.5. Общие свойства функциональных радов
10.3. Степенные рады
10.3.1. Радиус сходимости степенного рада
10.3.2. Интервал сходимости степенного ряда
10.3.3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного рада
10.3.4. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных радов
10.3.5. Ряды Тейлора
10.3.6. Разложение функции в степенной ряд
Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
11.1. Введение
11.1.1. Основные понятия
11.1.2. Понятие общего и частного решений. Задача Коши
11.1.3. Геометрический смысл уравнения и его решений
11.1.4. Разрешимость задачи Коши
11.2. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
11.2.1. Уравнения вида dy/dx = f(х)
11.2.2. Уравнения вида dy/dx = f(y)
11.2.3. Уравнения с разделенными переменными
11.2.4. Уравнения с разделяющимися переменными
11.2.5. Однородные уравнения
11.2.6. Линейные уравнения
11.2.7. Уравнения Бернулли
11.2.8. Уравнения в полных дифференциалах
11.3. Уравнения высших порядков, их общие решения
11.3.1. Уравнения вида dⁿy/dxⁿ = f(x)
11.3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
11.4. Уравнения высших порядков. Задача Коши
11.4.1. Постановка задачи Коши
11.4.2. Разрешимость задачи Коши
11.5. Линейные уравнения высших порядков
11.5.1. Основные понятия
11.5.2. Линейные однородные уравнения
11.5.3. Линейные неоднородные уравнения
11.5.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
11.5.5. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных
Приложение
Введение в математический пакет MAPLE
Ответы и указания к задачам для самостоятельной работы