- Артикул:00-01057072
- Автор: Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель
- ISBN: 5-11-001329-2
- Тираж: 3600 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Выща школа (все книги издательства)
- Город: Киев
- Страниц: 600
- Формат: 60 х 90 1/16
- Год: 1990
- Вес: 881 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Изложены основы функционального анализа и теории операторов: теория меры и интеграла, нормированные пространства и функционалы и операторы в них, спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (включая неограниченные операторы и теорию разложений по обобщенным собственным векторам), элементы теории обобщенных функций как конечного, так и бесконечного порядка, теория интегральных уравнений. Теоретический материал иллюстрируется большим числом примеров и упражнений для самостоятельной работы. Изложение ведется с учетом возможных приложений к задачам современной математической физики. Для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика». Может быть использовано студентами втузов и пединститутов, аспирантами и научными работниками
Оглавление
Предисловие
Глава I. Теория меры
§ 1. Операции над множествами. Упорядоченные множества
§ 2. Системы множеств
§ 3. Понятие меры множества. Простейшие свойства меры
§ 4. Внешняя мера
§ 5. Измеримые множества и продолжение меры
§ 6. Свойства мер и измеримых множеств
§ 7. Монотонные классы множеств и единственность продолжения меры
§ 8. Меры, принимающие бесконечные значения
§ 9. Мера Лебега ограниченных линейных множеств
§ 10. Мера Лебега на прямой
§ 11. Мера Лебега в N-мерном евклидовом пространстве
§ 12. Дискретная мера
§ 13. Некоторые сведения о неубывающих функциях
§ 14. Построение меры по неубывающей функции. Мера Лебега-Стилтьеса
§ 15. Восстановление неубывающей функции по мере Лебега-Стилтьеса
§ 16. Заряды и их свойства
§ 17. Связь функций ограниченной вариации с зарядами
Глава II. Измеримые функции
§ 1. Измеримые пространства и пространства с мерой. Измеримые функции
§ 2. Свойства измеримых функций
§ 3. Эквивалентность функций
§ 4. Последовательности измеримых функций
§ 5. Простые функции. Приближение измеримых функций простыми. Теорема Лузина
Глава III. Теория интеграла
§ I. Интегрирование простых функций
§ 2. Интегрирование измеримых ограниченных функций
§ 3. Связь между интегралами Римана и Лебега
§ 4. Интегрирование неотрицательных неограниченных функций
§ 5. Интегрирование неограниченных функций любого знака
§ 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
§ 7. Интегрирование по множеству бесконечной меры
§ 8. Суммируемость и несобственный интеграл Римана
§ 9. Интегрирование комплекснозначных функций
§ 10. Интеграл по заряду
§ 11. Интеграл Лебега - Стилтьеса. Связь с интегралом Римана - Стилтьеса
§ 12. Интеграл Лебега и теория рядов
Глава IV. Меры в произведениях пространств. Теорема Фубини
§ 1. Прямое произведение измеримых пространств, сечение множеств и функций
§ 2. Произведение мер
§ 3. Теорема Фубини
§ 4. Произведение конечного числа мер
Глава V. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер, зарядов и функций. Теорема Радона - Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега
§ 1. Абсолютно непрерывные меры и заряды
§ 2. Теорема Радона - Никодима
§ 3. Производная Радона - Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега
§ 4. Отображения пространств с мерой. Замена переменной в интеграле Лебега (другой подход)
§ 5. Сингулярность мер и зарядов. Разложение в смысле Лебега
§ 6. Абсолютно непрерывные функции. Простейшие свойства
§ 7. Связь абсолютно непрерывных функций с зарядами
§ 8. Формула Ньютона - Лейбница. Сингулярные функции. Разложение функции ограниченной вариации в смысле Лебега
Глава VI. Линейные нормированные и гильбертовы пространства
§ 1. Понятие топологического пространства
§ 2. Линейные топологические пространства
§ 3. Линейные нормированные и банаховы пространства
§ 4. Пополнение линейных нормированных пространств
§ 5. Предгильбертовы и гильбертовы пространства
§ 6. Квазискалярное произведение и полунормы
§ 7. Примеры банаховых и гильбертовых пространств
§ 8. Пространства суммируемых функций. Пространства lp
Глава VII. Линейные непрерывные функционалы и сопряженные пространства
§ 1. Теорема о почти ортогональном векторе. Конечномерные пространства
§ 2. Линейные непрерывные функционалы и их простейшие свойства. Сопряженное пространство
§ 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов
§ 4. Некоторые следствия из теоремы Хана - Банаха
§ 5. Общий вид линейных непрерывных функционалов в некоторых банаховых пространствах
§ 6. Вложение линейного нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства
§ 7. Теорема Банаха - Штейнгауза. Слабая сходимость
§ 8. Понятие тихоновского произведения и слабая топология в сопряженном пространстве
§ 9. Ортогональность и ортогональные проекции в гильбертовом пространстве. Общий вид линейного непрерывного функционала
§ 10. Ортонормированные системы векторов и ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве
Глава VIII. Линейные непрерывные операторы
§ I. Линейные операторы в нормированных пространствах
§ 2. Пространство линейных непрерывных операторов
§ 3. Произведение операторов. Обратный оператор
§ 4. Сопряженный оператор
§ 5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах
§ 6. Матричное представление операторов в гильбертовом пространств
§ 7. Операторы Гильберта - Шмидта
§ 8. Спектр и резольвента линейного непрерывного оператора
Глава IX. Компактные операторы. Уравнения с компактными операторами
§ 1. Определение и свойства компактных операторов
§ 2. Теория Рисса - Шаудера разрешимости уравнений с компактными операторами
§ 3. Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма
§ 4. Спектр компактного оператора
§ 5. Спектральный радиус оператора
§ 6. Решение интегральных уравнений второго рода методом последовательных приближений
Глава X. Спектральное разложение для компактных самосопряженных операторов. Аналитические функции от операторов
§ 1. Спектральное разложение для компактного самосопряженного оператора
§ 2. Интегральные операторы с эрмитовыми ядрами
§ 3. Интеграл Бохнера
§ 4. Аналитические функции от операторов
Глава XI. Элементы теории обобщенных функций
§ 1. Основные и обобщенные функции
§ 2. Операции над обобщенными функциями
§ 3. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье
Глава XII. Общая теория неограниченных операторов в гильбертовом пространстве
§ 1. Определение неограниченного оператора. График оператора
§ 2. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Дифференциальные операторы
§ 3. Понятие сопряженного оператора
§ 4. Дефектные числа общих операторов
§ 5. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Общие сведения
§ 6. Изометрические и унитарные операторы. Преобразование Кэли
§ 7. Теория расширения эрмитовых операторов до самосопряженных
Глава XIII. Спектральные разложения для самосопряженных, унитарных и нормальных операторов. Критерии самосопряженности
§ 1. Понятие разложения единицы и его свойства
§ 2. Построение спектральных интегралов
§ 3. Образ разложения единицы и замена переменных в спектральных интегралах. Произведение разложений единицы
§ 4. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных операторов
§ 5. Спектральное разложение для унитарного и ограниченного нормального операторов
§ 6. Спектральные разложения для неограниченных операторов
§ 7. Спектральное представление однопараметрической унитарной группы и операторные дифференциальные уравнения
§ 8. Эволюционные критерии самосопряженности
§ 9. Квазианалитические критерии самосопряженности и коммутируемости
§ 10. Самосопряженность возмущенного оператора
Глава XIV. Оснащенные пространства
§ 1. Гильбертовы оснащения
§ 2. Оснащение гильбертова пространства линейными топологическими пространствами
§ 3. Соболевские пространства в ограниченной области
§ 4. Соболевские пространства в неограниченной области. Классические пространства основных функций
§ 5. Тензорные произведения пространств
§ 6. Теорема о ядре
§ 7. Пополнение пространства по двум нормам
§ 8. Полуограниченные билинейные формы
Глава XV. Разложение по обобщенным собственным векторам
§ 1. Дифференцирование операторнозначной меры и разложения единицы
§ 2. Обобщенные собственные векторы и проекционная спектральная теорема
§ 3. Преобразование Фурье по обобщенным собственным векторам и прямой интеграл гильбертовых пространств
§ 4. Разложение по собственным функциям карлемановского оператора
Глава XVI. Дифференциальные операторы
§ 1. Теорема об изоморфизмах для эллиптического оператора
§ 2. Локальное повышение гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений
§ 3. Эллиптические дифференциальные операторы в области с границей
§ 4. Дифференциальные операторы в RN
§ 5. Разложение по собственным функциям и функция Грина эллиптических дифференциальных операторов
§ 6. Обыкновенные дифференциальные операторы
Список использованной и рекомендуемой литературы
Комментарий к списку литературы
Предметный указатель
Список основных обозначений
Рекомендуем
