- Артикул:00-01118859
- Автор: Г. М. Фихтенгольц
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 800
- Формат: 60х90/16
- Год: 1969
- Вес: 1072 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Второй том классического университетского курса посвящён дальнейшему развитию дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. В книге подробно рассматриваются ряды, кратные и криволинейные интегралы, элементы теории поля, а также приложения анализа к геометрии и физике.
Изложение отличается строгой математической доказательностью, логической последовательностью и большим количеством примеров и задач различной степени сложности.
Книга предназначена для студентов математических и технических специальностей, а также для всех, кто стремится к глубокому освоению математического анализа.
Содержание
Первообразная функция (неопределенный интеграл)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)
264. Интеграл и задача об определении площади
265. Таблица основных интегралов
266. Простейшие правила интегрирования
267. Примеры
268. Интегрирование путем замены переменной
269. Примеры
270. Интегрирование по частям
271. Примеры
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде
273. Простые дроби и их интегрирование
274. Разложение правильных дробей на простые
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей
276. Выделение рациональной части интеграла
277. Примеры
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278. Интегрирование выражений вида R (x,?m ax+yx+?. Примеры
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры
280. Формулы приведения
281. Интегрирование выражений вида R(x, ?ах2 + bх + с) . Подстановки Эйлера
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок
283. Примеры
284. Другие приемы вычисления
285. Примеры
§ 4. Нитрирование выражений, содержащих тригонометреческие и показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов R (sin x, cos x) dx
287. Интегрирование выражений sinv x cosµ x
288. Примеры
289. Обзор других случаев
Примеры
§ 5. Эллиптические интегралы
290. Общие замечания и определения
291. Вспомогательные преобразования
292. Приведение к канонической форме
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода
Глава девятая. Определенный интеграл
§ 1. Определение и условии существования определенного интеграла
294. Другой подход к задаче о площади
295. Определение
296. Суммы Дарбу
297. Условие существования интеграла
298. Классы интегрируемых функций
299. Свойства интегрируемых функций
300. Примеры и дополнения
301. Нижний и верхний интегралы как пределы
§ 2. Свойства определенных интегралов
302. Интеграл по ориентированному промежутку
303. Свойства, выражаемые равенствами
304. Свойства, выражаемые неравенствами
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела
306. Вторая теорема о среднем значении
§ 3. Вычисление н преобразование определенных интегралов
307. Вычисление с помощью интегральных сумм
308. Основная формула интегрального исчисления
309. Примеры
310. Другой вывод основной формулы
311. Формулы приведения
312. Примеры
313. Формула замены переменной в определенном интеграле
314. Примеры
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена
316. Другой вывод формулы замены переменной
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317. Формула Валлиса
318. Формула Тейлора с дополнительным членом
319. Трансцендентность числа е
320. Многочлены Лежандра
321. Интегральные неравенства
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322. Подстановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций
323. Параболическое интерполирование
324. Дробление промежутка интегрирования
325. Дополнительный член формулы прямоугольников
326. Дополнительный член формулы трапеций
327. Дополнительный член формулы Симпсона
328. Примеры
Глава 10. Приложения интегрального исчисления к геометрии, механике и физике
§ 1. Длина кривом
329. Вычисление длины кривой
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению
331. Примеры
332. Натуральное уравнение плоской кривой
333. Примеры
334. Длина дуги пространственной кривой
§ 2. Площади и объемы
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности
336. Площадь как предел
337. Классы квадрируемых областей
338. Выражение площади интегралом
339. Примеры
340. Определение понятия объема. Его свойства
341. Классы тел, имеющих объемы
342. Выражение объема интегралом
343. Примеры
344. Площадь поверхности вращения
345. Примеры
346. Площадь цилиндрической поверхности
347. Примеры
§ 3. Вычисление механических и физических величин
348. Схема применения определенного интеграла
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой
350. Примеры
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
352. Примеры
353. Механическая работа
354. Примеры
355. Работа силы трения в плоской пяте
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных
359. Задачи
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений
361. Задачи
Глава одиннадцатая. Бесконечные ряды с постоянными членами
§ 1. Введение
362. Основные понятия
363. Примеры
364. Основные теоремы
§ 2. Сходимость положительных рядов
365. Условие сходимости положительного ряда
366. Теоремы сравнения рядов
367. Примеры
368. Признаки Коши и Даламбера
369. Признак Раабе
370. Примеры
371. Признак Куммера
372. Признак Гаусса
373. Интегральный признак Маклорена-Коши
374. Признак Ермакова
375. Дополнения
§ 3. Сходимость произвольных рядов
376. Общее условие сходимости ряда
377. Абсолютная сходимость
378. Примеры
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты
381. Знакопеременные ряды
382. Примеры
383. Преобразование Абеля
384. Признаки Абеля и Дирихле
385. Примеры
§ 4. Свойства сходящихся рядов
386. Сочетательное свойство
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов
389. Умножение рядов
390. Примеры
391. Общая теорема из теории пределов
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов
§ 5. Повторные н двойные ряды
393. Повторные ряды
394. Двойные ряды
395. Примеры
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости
397. Примеры
398. Кратные ряды
§ 6. Бесконечные произведения
399. Основные понятия
400. Примеры
401. Основные теоремы. Связь с рядами
402. Примеры
§ 7. Разложения элементарных функций
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др
405. Логарифмический ряд
406. Формула Стирлинга
407. Биномиальный ряд
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409. Общие замечания
410. Вычисление числа я
411. Вычисление логарифмов
412. Вычисление корней
413. Преобразование рядов по Эйлеру
414. Примеры
415. Преобразование Куммера
416. Преобразование Маркова
§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417. Введение
418. Метод степенных рядов
419. Теорема Таубера
420. Метод средних арифметических
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
422. Теорема Харди-Ландау
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов
425. Примеры
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования
Глава двенадцатая. Функциональные последовательности и ряды
§ 1. Равномерная сходимость
427. Вводные замечания
428. Равномерная и неравномерная сходимости
429. Условие равномерной сходимости
430. Признаки равномерной сходимости рядов
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431. Непрерывность суммы ряда
432. Замечание о квази-равномерной сходимости
433. Почленный переход к пределу
434. Почленное интегрирование рядов
435. Почленное дифференцирование рядов
436. Точка зрения последовательности
437. Непрерывность суммы степенного ряда
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
§ 3. Приложения
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу
440. Примеры на почленное интегрирование рядов
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов
442. Метод последовательных приближении в теории неявных функций
443. Аналитическое определение тригонометрических функций
444. Пример непрерывной функции без производной
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445. Дейсгвия над степенными рядами
446. Подстановка ряда в ряд
447. Примеры
448. Деление степенных рядов
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются
450. Решение уравнений рядами
451. Обращение степенного ряда
452. Ряд Лагранжа
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453. Комплексные числа
454. Комплексная варианта и се предел
455. Функции комплексной переменной
456. Степенные ряды
457. Показательная функция
458. Логарифмическая функция
459. Тригонометрические функции и им обратные
460. Степенная функция
461. Примеры
§ 6. Отвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера - Маклорена
462. Примеры
463. Определения
464. Основные свойства асимптотических разложений
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена
466. Исследование дополнительного члена
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена
469. Формула и ряд Стирлинга
Глава тринадцатая. Несобственные интегралы
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами
471. Применение основной формулы интегрального исчисления
472. Примеры
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции
475. Сходимость интеграла в общем случае
476. Признаки Абеля и Дирихле
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду
478. Примеры
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479. Определение интегралов от неограниченных функций
480. Замечание относительно особых точек
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры
482. Условия и признаки существования интеграла
483. Примеры
484. Главные значения несобственных интегралов
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486. Простейшие свойства
487. Теоремы о среднем значении
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов
489. Примеры
490. Замена переменных в несобственных интегралах
491. Примеры
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492. Некоторые замечательные интегралы
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами
494. Случай интегралов с бесконечным пределом
495. Интегралы Фруллани
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами
497. Смешанные примеры и упражнения
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей
499. Примеры
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом
502. Использование асимптотических разложений
Глава четырнадцатая. Интегралы, зависящие от параметра
§ 1. Элементарная теория
503. Постановка задачи
504. Равномерное стремление к предельной функции
505. Перестановка двух предельных переходов
506. Предельный переход под знаком интеграла
507. Дифференцирование под знаком интеграла
508. Интегрирование под знаком интеграла
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра
510. Введение множителя, зависящею лишь от х
511. Примеры
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513. Определение равномерной сходимости интегралов
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами
515. Достаточные признаки равномерной сходимости
516. Другой случай равномерной сходимости
517. Примеры
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518. Предельный переход под знаком интеграла
519. Примеры
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру
521. Интегрирование интеграла по параметру
522. Применение к вычислению некоторых интегралов
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла
§ 4. Дополнения
525. Лемма Арцела
526. Предельный переход под знаком интеграла
527. Дифференцирование под знаком интеграла
528. Интегрирование под знаком интеграла
§ 5. Эйлеровы интегралы
529. Эйлеров интеграл первого рода
530. Эйлеров интеграл второго рода
531. Простейшие свойства функции Г
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами
533. Другая функциональная характеристика функции Г
534. Примеры
535. Логарифмическая производная функции Г
536. Теорема умножения для функции Г
537. Некоторые разложения в ряды и произведения
538. Примеры и дополнения
539. Вычисление некоторых определенных интегралов
540. Формула Стирлинга
541. Вычисление эйлеровой постоянной
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г
Алфавитный указатель