- Артикул:00-01119021
- Автор: А. А. Боровков
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 472
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1984
- Вес: 722 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Книга написана на основании лекций, которые читались автором в течение многих лет на 3-м курсе математического факультета Новосибирского университета.
Книга охватывает широкий круг вопросов, включающий в себя основания современной математической статистики, предельные теоремы для эмпирических распределений и основных типов статистик, основы теории оценок и теории проверки гипотез. Излагаются, в частности, методы отыскания оптимальных и асимптотически оптимальных процедур.
Книга рассчитана на аспирантов и студентов математических и физических специальностей высших учебных заведении.
Содержание
Предисловие
Введение
Глава 1
Выборка. Эмпирическое распределение. Асимптотические свойства статистик
§ 1. Понятие выборки
§ 2. Эмпирическое распределение (одномерный случай)
§ 3. Выборочные характеристики. Два типа статистик
1. Примеры выборочных характеристик
2. Два типа статистик
§ 4. Многомерные выборки
1. Эмпирические распределения
2. Более общие варианты теоремы Гливенко - Кантелли. Закон повторного логарифма
3. Выборочные характеристики
§ 5. Теоремы непрерывности
§ 6. Эмпирическая функция распределения как случайный процесс. Сходимость к броуновскому мосту
1. Распределение процесса nFn(t)
2. Предельное поведение процесса wn(t)
§ 7. Предельное распределение для статистик первого типа
§ 8. Предельное распределение для статистик второго типа
§ 9. Замечания о непараметрических статистиках
§ 10. Сглаженные эмпирические распределения. Эмпирические плотности
Глава 2. Теория оценивания неизвестных параметров
§ 1. Предварительные замечания
§ 2. Некоторые параметрические семейства распределений и их свойства
1. Нормальное распределение на прямой
2. Многомерное нормальное распределение
3. Гамма-распределение
4. Распределение «хи-квадрат» Нк с к степенями свободы
5. Экспоненциальное распределение
6. Распределение Фишера Fк1, к2 с числом степеней свободы к1 к2
7. Распределение Стьюдента Тк с к степенями свободы
8. Бэта-распределение (В-распределение)
9. Равномерное распределение
10. Распределение Коши Ка,? с параметрами (а, ?)
11. Логнормальное распределение Ка, ?2
12. Вырожденное распределение
13. Распределение Бернулли Врn
14. Распределение Пуассона
15. Полиномиальное распределение
§ 3.Точечное оценивание. Основной метод получения оценок. Состоятельность, асимптотическая нормальность
1. Метод подстановки. Состоятельность
2. Асимптотическая нормальность. Одномерный случай
3. Асимптотическая нормальность. Случай многомерного параметра
§ 4. Реализация метода подстановки в параметрическом случае. Метод моментов
1. Метод моментов. Одномерный случай
2. Метод моментом, Многомерный случай
3. Обобщенный метод моментов
§ 5. Метод минимального расстояния
§ 6. Метод максимального правдоподобия
§ 7. О сравнении оценок
1. Среднеквадратический подход. Одномерный случай
2. Асимптотический подход. Одномерный случай
3. Среднеквадратичный и асимптотический подходы в многомерном случае
§ 8. Сравнение оценок в параметрическом случае. Эффективные оценки
1. Одномерный случай
2. Многомерный случай
§ 9. Условные математические ожидания
1. Определение у. м. о.
2. Свойства у. м. о.
§ 10. Условные распределения
§ 11. Байесовский и минимаксный подходи к оцениванию параметров
§ 12. Достаточные статистики
§ 13. Минимальные достаточные статистики
§ 14. Построение эффективных оценок с помощью достаточных статистик. Полные статистики
1. Одномерный случай
2. Многомерный случай
3. Полные статистики и эффективные оценки
§ 15. Экспоненциальное семейство
§ 16. Неравенство Рао - Крамера и R-эффективные оценки
1. Неравенство Рао - Крамера и его следствия
2. Я-эффективные и асимптотически R-эффективные оценки
3. Неравенство Рао - Крамера в многомерном случае
4. Некоторые выводы
§ 17. Свойства информации Фишера
1. Одномерный случай
2. Многомерный случай
3. Матрица Фишера и замена параметра
§ 18. Оценки параметра сдвига и масштаба. Эффективные эквивариантные оценки
1. Оценки параметров сдвига и масштаба
2. Эффективная оценка параметра сдвига в классе аквивариантных оценок
3. Минимаксность оценки Питмена
4. Об оптимальных оценках параметра масштаба
§ 19. Общая задача об эквивариантном оценивании
§ 20. Интегральное неравенство типа Рао - Крамера. Критерии асимптотической байесовости и минимаксности оценок
1. Эффективные и сверхэффективные оценки
2. Основные неравенства
3. Неравенства в случае, когда функция q(?)/i(?) не дифференцируема
4. Некоторые следствия. Критерии асимптотической байесовости и минимаксности
5. Многомерный случай
§ 21. Расстояния Кульбака - Лейблера, Хеллингера и х2. Их свойства
1. Определения и основные свойства расстояний
2. Связь расстояний Хеллингера и других с информацией Фишера
3. Существование равномерных границ для r(?)/?2
4. Многомерный случай
5. Связь рассматриваемых расстояний с оценками
§ 22. Разностное неравенство типа Рао - Крамера
§ 23. Вспомогательные неравенства для отношения правдоподобия. Состоятельность оценок максимального правдоподобия
1. Основные неравенства
2. Оценки для распределения и моментов о. м. п. Состоятельность о. м. п.
§ 24. Асимптотические свойства отношения правдоподобия
§ 25. Свойства оценок максимального правдоподобия. Асимптотическая нормальность. Асимптотическая оптимальность
1. Асимптотическая нормальность о. м. п.
2. Асимптотическая эффектнвность
3. Асимптотическая байесовость о. м. п.
4. Асимптотическая минимаксность о. м. п.
§ 26. Приближенное вычисление оценок максимального правдоподобия
§ 27. Свойства оценок максимального правдоподобия при отсутствии условий регулярности. Состоятельность
§ 28. Результаты §§ 23-27 для случая многомерного параметра
1. Неравенства для отношения правдоподобия (результаты § 23)
2. Асимптотические свойства отношения правдоподобия (результаты § 24)
3. Свойства о. м. п. (результаты § 25)
4. Приближенное вычисление о. м. п.
5. Свойства о. м. п. при отсутствии условий регулярности (результаты § 27)
§ 29. Равномерность но ? асимптотических свойств отношения правдоподобия и оценок максимального правдоподобия
1. Равномерные законов больших чисел и центральная предельная теорема
2. Равномерные варианты теорем об асимптотических свойствах отношения правдоподобия и оценок максимального правдоподобия
3. Некоторые следствия
§ 30. О статистических задачах, связанных с выборками случайного объема. Последовательное оценивание
§ 31. Интервальное оценивание
1. Определения
2. Построение доверительных интервалов в байесовском случае
3. Построение доверительных интервалов в общем случае. Асимптотические доверительные интервалы
4. Построение точного доверительного интервала с помощью заданной статистики
5. Другие методы построения доверительных интервалов
6. Многомерный случай
§ 32. Точные выборочные распределения и доверительные интервалы для нормальных совокупностей
1. Точные распределения статистик х, s2\0
2. Построение точных доверительных интервалов для параметров нормального распределения
Глава 3. Теория проверки гипотез
§ 1. Проверка конечного числа простых гипотез
1. Постановка задачи. Понятие статистического критерия. Наиболее мощный критерий
2. Байесовский подход 3. Минимаксный подход
4. Наиболее мощные критерии
§ 2. Проверка двух простых гипотез
§ 3. Два асимптотических подхода к расчету критериев. Численное сравнение
1. Предварительные замечания
2. Фиксированные гипотезы
3. Близкие гипотезы
4. Сравнение асимптотических подходов. Числовой пример
5. Связь н. м. и. с асимптотической эффективностью о. м. п.
§ 4. Проверка сложных гипотез. Классы оптимальных критериев
1. Постановка задачи и основные понятия
2. Равномерно наиболее мощные критерии
3. Байесовские критерии
4. Минимаксные критерии
§ 5. Равномерно наиболее мощные критерии
1. Односторонние альтернативы. Монотонное отношение правдоподобия
2. Двусторонняя основная гипотеза. Экспоненциальное семейство
3. Другой подход к рассматриваемым задачам
4. Байесовский подход и наименее благоприятные априорные распределения при построении н. м. н. н. р. и. м. н.
§ 6. Несмещенные критерии
1. Определения. Несмещенные р. в. м. н.
2. Двусторонние альтернативы. Экспоненциальное семейство
§ 7. Инвариантные критерии
§ 8. Связь с доверительными множествами
1. Связь статистических критериев доверительных множеств. Связь свойств оптимальности
2. Наиболее точные доверительные интервалы
3. Несмещенные доверительные множества
4. Инвариантные доверительные множества
§ 9. Байесовский и минимаксный подходы к проверке сложных гипотез
1. Байесовские и минимаксные критерии
2. Минимаксные критерии для параметра а нормальных распределений
3. Вырожденные наименее благоприятные распределения для односторонних гипотез
§ 10. Критерии отношения правдоподобия
§ 11. Последовательный анализ
1. Вводные замечания
2. Байесовский последовательный критерий
3. Последовательный критерий, минимизирующий среднее число испытаний
4. Вычисление параметров наилучшего последовательного критерия
§ 12. Проверка сложных гипотез в общем случае
§ 13. Асимптотически оптимальные критерии. Критерий отношения правдоподобия как асимптотически байесовский критерий для проверки простой гипотезы против сложной
1. Асимптотические свойства к. о. п. и байесовского критерия
2. Асимптотическая байесовость к. о. п.
3. Асимптотическая несмещенность к. о. п.
§ 14. Асимптотически оптимальные критерии для проверки близких сложных гипотез
1. Постановка задачи и определения
2. Основные утверждения
§ 15. Свойства асимптотической оптимальности критерия отношения правдоподобия, вытекающие из предельного признака оптимальности
1. А. р. н. м. к. для близких гипотез с односторонними альтернативами
2. А. р. н. м. к. для двусторонних альтернатив
3. Асимптотически минимаксный критерий для близких гипотез, касающихся многомерного параметра . Асимптотически минимаксный критерий о принадлежности выборки параметрическому подсемейству
§ 16. Критерий х2. Проверка гипотез по сгруппированным данным.
1. Критерий Свойства асимптотической оптимальности
2. Применения критерии хг. Проверка гипотез по сгруппированным данным
§ 17. Проверка гипотез о принадлежности выборки параметрическому семейству
1. Проверка гипотезы (хеВ? (а)). Группировка данных
2. Общий случай
§ 18. Устойчивость статистических решений
1. Оценка среднего для симметричных распределений
2. Статистики Стьюдента и S2\0
3. Критерий отношения правдоподобия
Приложение I. Теоремы типа Гливепко - Кантелли
Приложение II. Функциональная предельная теорема для эмпирических процессов
Приложение III. Свойства условных математических ожиданий
Приложение IV. Факторизационная теорема Неймана - Фишера
Приложение V. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Равномерные варианты
Приложение VI. Некоторые утверждения, относящиеся к интегралам, зависящим от параметра
Приложение VII. Неравенства для распределения отношения правдоподобия в многомерном случае
Таблица I. Нормальное распределение Ф0,1
Таблица II. Квантили нормального распределения
Таблица III. Распределение хи-квадрат Нк
Таблица IV. Распределение Стьюдента Тк
Библиографические замечания
Литература
Список основных обозначений
Предметный указатель