Математика. В 4-х книгах. Выпуск 2. Математический анализ. Учебное пособие. Часть 2.

Во второй части учебного пособия но курсу математического анализа содержится дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных, теория интегралов, зависящих от параметра, теория рядов, элементы векторного анализа. Разобрано более 270 примеров и задач.

Предназначается студентам политехнических университетов.
Содержание

Предисловие

Глава 1. Функции нескольких переменных. Непрерывность
§1. Геометрическое введение
§2. Принцип выбора
§3. Понятие функции нескольких переменных
§4. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы
§5. Непрерывность функции нескольких переменных
§6. Свойства непрерывных функций нескольких переменных
§7. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных. Теорема Кантора
§8. Примеры и задачи

Глава 2. Частные производные. Дифференциалы функций нескольких переменных
§1. Частные производные и частные дифференциалы
§2. Формула для полного приращения функции нескольких переменных. Дифференцируемость
§3. Производные сложных функций
§4. Полный дифференциал функции нескольких переменных
§5. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала
§6. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
§7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
§8. Дифференциалы высших порядков сложной функции нескольких переменных. Нарушение свойства
инвариантности формы
§9. Примеры и задачи

Глава 3. Теория неявных функций. Зависимость и независимость функций
§1. Теоремы существования неявных функций
§2. Зависимость и независимость функций
§3. Некоторые дополнительные сведения о якобианах2
§4. Примеры и задачи6

Глава 4. Экстремумы функций нескольких переменных
§1. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
§2. Обычные экстремумы для функций нескольких переменных
§3. Условные (относительные) экстремумы
§4. Примеры и задачи на экстремумы функций нескольких переменных
§5. Примеры и задачи на наибольшие и наименьшие значения функций нескольких переменных
§6. Примеры и задачи на замену переменных

ТЕОРИЯ РЯДОВ

Глава 5. Числовые ряды с вещественными членами
§1. Определение ряда и его сходимость. Простейшие свойства сходящихся рядов
§2. Положительные ряды. Признаки сравнения
§3. Интегральный признак Коши
§4. Признак Куммера
§5. Признак Коши
§6. Знакочередующиеся ряды
§7. Ряды с членами любых знаков
§8. О перестановке членов в сходящихся рядах
§9. Умножение абсолютно сходящихся рядов
§10. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля

Глава 6. Функциональные последовательности и ряды
§1. Последовательности функций
§2. Функциональные ряды (общая теория)
§3. Степенные ряды
Дополнение к теории рядов

Глава 7. Собственные интегралы, зависящие от параметра
§1. Определение интегралов, зависящих от параметра
§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла
§3. О непрерывности интеграла как функции параметра
§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла
§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра
§7. Примеры

Глава 8. Двойные интегралы
§1. Область и ее диаметр
§2. Определение двойного интеграла
§3. Признаки интегрируемости функций
§4 Свойства двойных интегралов
§5. Вычисление двойного интеграла
в случае прямоугольной области
§6. Вычисление двойного интеграла
в случае криволинейной области
§7. Примеры

Глава 9. Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы первого рода
§2. Криволинейные интегралы второго рода
§3. Криволинейные интегралы второго рода
по замкнутым плоским кривым. Формула Грина
§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах
§6. Замена переменных в двойном интеграле
§7. Примеры

Глава 10. Вычисление площадей кривых поверхностей
§1. Некоторые сведения из геометрии
§2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление
§3. Примеры

Глава 11. Поверхностные интегралы
§1. Поверхностные интегралы первого рода
§2. Поверхностные интегралы второго рода
§3. Формула Стокса
§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла в пространстве от пути интегрирования
§5. Примеры и задачи

Глава 12. Тройные интегралы
§1. Определение тройного интеграла
§2. Признаки интегрируемости функций
§3. Свойства тройного интеграла
§4. Физическое истолкование тройного интеграла
§5. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат
§6. Формула Остроградского
§7. Вычисление объемов тел при помощи поверхностных интегралов (применение формулы Остроградского)
§8. Объем тела в криволинейных координатах
§9. Замена переменных в тройном интеграле
§10. Понятие об интегралах высшей кратности
§11. Примеры и задачи
Дополнение. Понятие о несобственных кратных интегралах

Глава 13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
§1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов
§2. О непрерывности интеграла как функции параметра
§3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла
§5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
§6. Примеры

Глава 14. Эйлеровы интегралы
§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
§2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
§3. Примеры

Глава 15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§1. Тригонометрические ряды
§2. Интеграл Дирихле
§3. Теорема Римана-Лебега
§4. Проблема разложения функции в ряд Фурье
§5. Ряды Фурье четных и нечетных функций
§6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в "неполном" промежутке
§7. Сдвиг основного промежутка
§8. Растяжение основного промежутка
§9. Интеграл Фурье
§10. Различные виды формулы Фурье
§11. Формулы Фурье для функции, заданной на промежутке [0, +">]
§12. Гармонический анализ непериодических функций
§13. Преобразования Фурье

Глава 16. Суммирование расходящихся рядов
§1. Метод средних арифметических (метод Чезаро)
§2. Теоремы Вейерштрасса
§3. Средние квадратические приближения функций
§4. Полнота тригонометрической системы
§5. Метод Абеля-Пуассона суммирования рядов
§6. Применение метода Абеля-Пуассона к рядам Фурье
Дополнение 1. Применение метода Абеля-Пуассона в теории степенных и числовых рядов
Дополнение 2. Гармонический анализ функций, заданных эмпирически

Глава 17. Элементы теории поля
§1. Скалярное поле
§2. Градиент
§3. Векторное поле
§4. Дивергенция
§5. Линейный интеграл векторной функции
§6. Вихрь векторного поля
§7 Дифференциальные операции второго порядка в векторном анализе
Литература