- Артикул:00-01111969
- Автор: В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 320
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1984
- Вес: 534 г
Развернуть ▼
Книга представляет собой справочное пособие по линейной алгебре. Это пособие охватывает как основные теоретические вопросы линейной алгебры, так и со численные методы. Описание ведется с учетом особенностей реализации методов на ЭВМ. Отличительной чертой данного справочного пособия является отсутствие доказательств и теоретических обоснований приводимых фактов и методов.
Для студентов, аспирантов и научных сотрудников, деятельность которых связана с решением задач алгебры на ЭВМ.
Содержание
Предисловие
Глава 1. Основы теории
§ 1. Множества, элементы, операции
Операции. Группа. Кольцо. Поле. Линейное пространство. Оператор
§ 2. Системы векторов
Изоморфизм. Вектор. Линейная оболочка. Линейная зависимость. Эквивалентные системы. Ранг. Базис
§ 3. Матрицы и операторы
Матрица. Матричные операции. Траспонирование. Сопряженность. Диагональная матрица. Перестановочные матрицы. Треугольная матрица
§ 4. Определители, миноры, дополнения
Перестановка. Определитель. Формула Бине-Коши, Ранг матрицы. Невырожденная матрица
§ 5. Скалярное произведение
Скалярное произведение. Ортогональность. Ортогональное дополнение. Длина, угол, расстояние. Проекция и перпендикуляр. Объем системы векторов
§ 6. Системы линейных алгебраических уравнений
Теорема Кронекера - Капелли. Формулы Крамера. Альтернатива и теорема Фредгольма. Псевдорешение. Псевдообратная матрица. Система и гиперплоскости. Проектор
§ 7. Матрицы простой структуры
Матрица преобразования координат. Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы. Собственные значения и векторы. Характеристический многочлен. Матрица простой структуры. Соответствующая матрица
§ 8. Инвариантные подпространства
Инвариантное подпространство. Блочная матрица. Матричный мно¬гочлен. Корневой вектор. Теорема Кели-Гамильтона. Канонич¬ская форма Жордана. Теорема Шура
§ 9. ?-матрицы
?-матрицы. Минимальный многочлен. Эквивалентные ?-матрицы. Инвариантный многочлен. Каноническая форма Смита. Каноническая форма Фробениуса. Каноническая форма Жордана
§ 10. Нормальные матрицы
Нормальная матрица. Унитарная матрица. Эрмитова матрица. Косоэрмитова матрица
§ 11. Мультипликативные представления матриц
LU-разложение. Блочное LU-разложение. QR-разложение. Полярное разложение. Сингулярные числа. Сингулярное разложение. Кронекерово произведение
§ 12. Билинейные формы
Билинейная форма. Квадратичная форма. Эрмитова билинейная форма. Эрмитова квадратичная форма. Матрица билинейной формы. Положительно определенная матрица. Конгруэнтность. Закон инерции квадратичных форм.
§ 13. Билинейно метрические пространства
Матрица и определитель Грама. Нулевые подпространства. Ортогональный базис. Псевдоортогональный базис. Псевдодвойственные базисы. Сопряженная система векторов
§ 14. Векторные и матричные нормы
Метрическое пространство. Нормированное пространство. Полнота нормированного пространства. Эквивалентность норм. Норма матрицы. Согласованная и подчиненная кормы
§ 15. Функционалы в евклидовом пространстве
Функционал. Градиент. Функционал ошибки. Множество решений системы уравнений. Спуск по функционалу ошибки. Отношение Релея. Собственные значения. Теорема Куранта-Фишера. Функционал невязки
§ 16. Возмущения и локализация
Степенной ряд. Число обусловленности. Оценка ошибки решения систем. Локализация собственных значений. Круги Гершгорина. Спектр и малые возмущения. Малые возмущения и сингулярное разложение
§ 17. Матрицы типа теплицевых
Теплицева матрица. Представление обратной матрицы. Циркулянтная матрица, дискретное преобразование Фурье. Многоуровневые матрицы. Теплицев ранг
§ 18. Матрицы с неотрицательными элементами
Неотрицательная матрица. Теорема Перрона -Фробениуса. Циклическая матрица. Осцилляционная матрица
§ 19. Матрицы специального вида
Якобиева матрица. Обобщенная проблема собственных значений. Некоторые разностные матрицы
§ 20. Неравенства и оценки
Классические неравенства. Теорема Виландта-Гофмана. Спектр суммы эрмитовых матриц. Сингулярные числа суммы матриц. Сингулярные числа произведения матриц. Спектр произведения эрмитовых матриц Неравенства Г. Вейля. Мажорирующие последовательности. Теоремы разделения
Глава 2. Численные методы
§ 21. Математические особенности машинной арифметики
Система счисления. Округление. Фиксированная и плавающая запятая. Основные гипотезы. Свойства машинных операций. Прямой и обратный анализ ошибок
§ 22. Элементарные матрицы и преобразования
Матрица вращения. Последовательность преобразований вращения. Циклические последовательности. Процесс исключения. Матрица отражения. Элементарные неунитарные матрицы
§ 23. Ортогонализация
Процессы ортогонализации. Ортогонализация степенной последовательности. Трехчленные соотношения. Устойчивость и неустойчивость. Переортогонализация
§ 24. Основные разложения матрицы на множители
Метод Гаусса. Перестановки. Выбор ведущего элемента. Компактная схема. Метод квадратного корня. Метод вращений. Метод отражений. Нормализованный метод вращения. Метод ортогонализации. Сравнение разложений
§ 25. Решение систем с невырожденными матрицами
Обратная и прямая подстановки. Подстановка с нормировкой. Различные методы решения систем. Уточнение решения
§ 26. Особенности решения неустойчивых систем
Непрерывность и разрывность решений. Сингулярное разложение Главные проекции решения. Регуляризация
§ 27. Тактика решения систем общего вида
Сведение к двухдиагональной системе. Решение двухдиагональных систем. Оценка точности. Матрица неполного ранга. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы. Регуляризация
§ 28. Методы сопряженных направлений
Общая схема. Выбор начального вектора. Условия на матрицы. Трехчленные соотношения. Матрицы в различных базисах. Минимизация функционала ошибок. Метод сопряженных градиентов. Метод А*А-минимальных итераций. Метод А*А-минимальных итераций. Метод эрмитова разложения. Метод неполного разложении. Методы двойственных направлений. Отклонение от решении. Связь с разложением матриц. Схема с уточнением
§ 29. Другие методы
Метод оптимального исключения. Метод Жордана. Модификация обратной матрицы. Метод окаймления. Блочный метод квадратного корня. Методы для теплицевых матриц
§ 30. Прямые и обратные итерации
Прямые итерации. Обратные итерации. Сдвиги. Скорость и устойчивость. Сведение к почти треугольной матрице. Последовательности Релея
§31. QR- и QL-алгоритмы
QR-алгоритм. Сходимость. Инвариантность к почти треугольной Форме. Инвариантность к блочно треугольной форме. Сдвиги. Квадратичная скорость. Комплексно сопряженные сдвиги. QL-алгоритм
§ 32. Эрмитовы матрицы
Вычисление знаков миноров якобиевой матрицы. Метод бисекций. Обратные итерации и QR-алгоритм. Эффективность QR-алгоритма со сдвигами. Метод вращений. Стратегии выбора элементов
§ 33. Метод Ланцоша
Вычислительная схема. Некоторые оценки. Аппроксимации Ритца. Геометрическая интерпретация. Особенности практической реализации
§ 34. Общие вопросы теории итерационных методов решения систем линейных уравнений
Итерационные методы: p-шаговый метод, стационарный метод, циклический метод, линейный метод. Оператор перехода. Скорость сходимости. Метод Ричардсона
§ 35. Методы релаксации
Точечный и блочный методы Якоби. Метод Гаусса-Зейделя. Метод последовательной верхней релаксации. Согласованно упорядоченные матрицы. Теория выбора оптимального параметра релаксации. Метод симметричной последовательной верхней релаксации
§ 36. Итерационные методы для систем с монотонными матрицами. Монотонные матрицы. Регулярное расщепление матриц. Теория сходимости. М-матрица. Матрица Стилтьеса
§ 37. Методы расщепления (методы переменных направлений)
Необходимые и достаточные условия сходимости. Коммутативный случай. Метод Писмана-Рэкфорда. Выбор последовательности параметров. Некоммутативный случай. Попеременно треугольный метод
§ 38. Чебышевские итерационные методы
Многочлены Чебышева. Двухшаговый метод Ричардсона. Двухшаговый чебышевский метод. Одношаговый чебышевский метод. Упорядочивание параметров. Циклический чебышевский метод
§ 39. Нелинейные итерационные методы
Метод наискорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод минимальных ошибок. Обобщенный метод минимальных итераций Ланцоша. Обобщенный метод сопряженных градиентов
§ 40. Итерационные методы решения систем с вырожденными матрицами
Стационарные методы. Достаточное условие сходимости. Методы релаксации Методы расщепления. Обобщенный метод сопряженных градиентов. Метод фиктивных компонент. Решение несовместных систем
Литература
Предметный указатель
Рекомендуем
