- Артикул:00-01118244
- Автор: Г. П. Толстов
- Тираж: 14000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 384
- Формат: 84х108 1/32
- Год: 1980
- Вес: 613 г
Развернуть ▼
Книга содержит изложение основ теории рядов Фурье и некоторые их приложения к решению задач математической физики.
Содержание
Предисловие к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к третьему изданию
Глава 1. Тригонометрические ряды Фурье
§ 1. Периодические функции
§ 2. Гармоники
§ 3. Тригонометрические многочлены и ряды
§ 4. Уточнение терминологии. Интегрируемость. Функциональные ряды
§ 5. Основная тригонометрическая система. Ортогональность синусов и косинусов
§ 6. Ряд Фурье для функции периода 2 п
§ 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2 п
§ 8. Правый и левый пределы функции в точке. Точки разрыва первого рода
§ 9. Гладкие и кусочно-гладкие функции
§ 10. Признак сходимости ряда Фурье
§ 11. Четные и нечетные функции
§ 12. Ряды по косинусам и ряды по синусам
§ 13. Примеры разложений в ряд Фурье
§ 14. Комплексная форма ряда Фурье
§ 15. Функции периода 2 t
Упражнения к гл. 1
Глава II. Ортогональные системы
§ 1. Определение. Нормированные системы
§ 2. Ряд Фурье по данной ортогональной системе
§ 3. Примеры простейших ортогональных систем
§ 4. Функции с интегрируемым квадратом. Неравенство Буняковского
§ 5. Квадратичное уклонение; его минимум
§ 6. Неравенство Бесселя и его следствия
§ 7. Полные системы. Сходимость в среднем
§ 8. Важнейшие свойства полных систем
§ 9. Критерий полноты системы
§ 10. Аналогия с векторами
Глава III. Сходимость тригонометрических рядов Фурье
§ 1. Неравенство Бесселя и его следствие
§ 2. Предел при n-> оо тригонометрических интегралов f (х) соs nх dх и f (х) sin nx dx
§ 3. Формула для суммы косинусов. Вспомогательные интегралы
§ 4. Интегральная формула для частной суммы ряда Фурье
§ 5. Правая и левая производные
§ 6. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье в точке непрерывности функции
§ 7. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье в точке разрыва функции
§ 8. Обобщение достаточных условий, установленных в §§ 6 и 7
§ 9. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции (непрерывной или разрывной)
§ 10. Абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочно-гладкой функции периода 2п
§ 11. Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной функции периода 2л, обладающей абсолютно интегрируемой производной
§ 12. Обобщение результатов § 11
§ 13. Принцип локализации
§ 14. Примеры разложения в ряд Фурье неограниченных функций
§ 15. Замечание о функциях периода 2i
Глава IV. Тригонометрические ряды с убывающими коэффициентами. Отыскание сумм некоторых рядов
§ 1. Лемма Абеля
§ 2. Формула для суммы синусов. Вспомогательные неравенства
§ 3. Сходимость тригонометрических рядов с монотонно убывающими коэффициентами
§ 4. Некоторые следствия теорем § 3
§ 5. Применение функций комплексного переменного для отыскания сумм некоторых тригонометрических рядов
§ 6. Уточнение результатов § 5
Упражнения к гл. IV
Глава V. Полнота тригонометрической системы. Операции с рядами Фурье
§ 1. Приближения функций тригонометрическими многочленами
§ 2. Полнота тригонометрической системы
§ 3. Формула Ляпунова. Важнейшие следствия полноты тригонометрической системы
§ 4. Приближения функции многочленами
§ 5. Сложение и вычитание рядов Фурье. Умножение на число
§ 6. Умножение рядов Фурье
§ 7. Интегрирование рядов Фурье
§ 8. Дифференцирование рядов Фурье. Случай непрерывной функции периода 2 п
§ 9. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции, заданной на отрезке (-п, п|
§ 10. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции, заданной на отрезке [0, п]
§ 11. Улучшение сходимости рядов Фурье
§ 12. Таблица некоторых тригонометрических разложений
§ 13. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье. Упражнения к гл. V
Глава VI. Суммирование тригонометрических рядов Фурье
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Способ средних арифметических
§ 3. Интегральная формула для среднего арифметического частных сумм ряда Фурье
§ 4. Суммирование рядов Фурье способом средних арифметических
§ 5. Способ степенных множителей
§ 6. Ядро Пуассона
§ 7. Применение способа степенных множителей к суммированию рядов Фурье. Упражнения к гл. VI
Глава VII. Двойные тригонометрические ряды. Интеграл Фурье
§ 1. Ортогональные системы в случае двух переменных. Ряды Фурье
§ 2. Основная тригонометрическая система в случае двух переменных. Двойные тригонометрические ряды Фурье
§ 3. Интегральная формула для частных сумм двойного тригонометрического ряда Фурье. Признак сходимости
§ 4. Двойные ряды Фурье в случае функций с различными периодами по х и по у
§ 5. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
§ 6. О несобственных интегралах, зависящих от параметра
§ 7. Две леммы
§ 8. Доказательство интегральной формулы Фурье
§ 9. Различные виды интегральной формулы Фурье
§ 10. Преобразование Фурье
§ 11. Спектральная функция
Глава VIII. Бесселевы функции
§ 1. Уравнение Эйлера-Бесселя
§ 2. Бесселевы функции первого рода с неотрицательным индексом
§ 3. О Г-функции
§ 4. Бесселевы функции первого рода с отрицательным индексом
§ 5. Общий интеграл уравнения Эйлера - Бесселя
§ 6. Бесселевы функции второго рода
7. Соотношения между бесселевыми функциями с различными индексами
§ 8. Бесселевы функции первого рода с индексом вида р = 2n+1\2, n- целое
§ 9. Асимптотические формулы для бесселевых функций
§ 10. Корни бесселевых функций и функций, связанных с ними
§ 11. Уравнение Эйлера-Бесселя с параметром
§ 12. Ортогональность функций вида Jр = (?х)
§ 13. Вычисление интеграла хJ2р=(?х) dх
§ 14. Оценка интеграла хJ2р=(?х) dх
Упражнения к гл. VIII
Глава IX. Ряды Фурье по бесселевым функциям
§ 1. Ряды Фурье-Бесселя
§ 2. Признаки сходимости рядов Фурье-Бесселя
§ 3. Неравенство Бесселя и следствия из него
§ 4. Порядок коэффициентов, обеспечивающих равномерную сходимость ряда Фурье-Бесселя
§ 5. Порядок коэффициентов Фурье-Бесселя для дважды дифференцируемой функции
§ 6. Порядок коэффициентов Фурье-Бесселя для функции, дифференцируемой несколько раз
§ 7. О почленном дифференцировании рядов Фурье-Бесселя
§ 8. Ряды Фурье-Бесселя второго типа
§ 9. Распространение результатов §§ 3-7 на ряды Фурье-Бесселя второго типа
§ 10. Разложение в ряды Фурье-Бесселя функций, заданных на отрезке [0, i]
Упражнения к гл. IX
Глава X. Метод собственных функций в решении некоторых задач математической физики
§ 1. Сущность метода
§ 2. Обычная постановка краевой задачи
§ 3. О существовании собственных значений
§ 4. Собственные функции; их ортогональность
§ 5. О знаке собственных значений
§ 6. Ряды Фурье по собственным функциям
§ 7. Всегда ли метод собственных функций действительно приводит к решению задачи?
§ 8. Обобщенное решение
§ 9. Неоднородная задача
§ 10. Заключение
Глава XI. Приложения
§ 1. Уравнение колеблющейся струны
§ 2. Свободные колебания струны
§ 3. Вынужденные колебания струны
§ 4. Уравнение продольных колебаний стержня
§ 5. Свободные колебания стержня
§ 6. Вынужденные колебания стержня
§ 7. Колебания прямоугольной мембраны
§ 8. Радиальные колебания круглой мембраны
§ 9. Колебания круглой мембраны (общий случай)
§ 10. Уравнение распространения тепла в стержне
§ 11. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре
§ 12. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при постоянных температурах
§ 13. Распространение тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах
§ 14. Распространение тепла в стержне, в концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой
§ 15. Распространение тепла в бесконечном стержне
§ 16. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай изолированной поверхности
§ 17. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай теплообмена с внешней средой на поверхности
§ 18. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай установившейся температуры