Справочник по математике для экономистов

Авторы справочника первыми решили задачу создания списка тех формул и математических утверждений, знание которых необходимо студентам высших учебных заведений при знакомстве с общим курсом высшей математики и изучении математических методов анализа экономики. Эта выборка охватывает дифференциальное исчисление, матричную алгебру, математическое программирование, оптимальное управление, теорию поведения потребителя, производственные функции, модели роста, финансовую математику, теорию игр и прикладную статистику.
Краткие комментарии помогут читателю освежить в памяти математические результаты, как порожденные потребностями экономических исследований, так и носящие универсальный характер. Книга выдержала уже три издания на нескольких языках и пользуется устойчивым спросом в Европе, Америке, Японии и Африке. Третье издание дополнено 250 формулами.

Оглавление
1.Теория множеств. Отношения. Функции
Логические операции. Таблицы истинности. Основные понятия теории множеств. Декартово произведение. Отношения. Типы отношений порядка. Лемма Цорна. Функции. Обратные функции. Конечные и счетные множества.
2. Уравнения. Функции одной переменной. Комплексные числа
Корни квадратного и кубического уравнений. Формулы Кардано. Многочлены. Правило знаков Декарта. Классификация конических сечений и их графики. Свой­ства функций. Асимптоты. Метод приближения Ньютона. Касательная и нормаль. Степень, экспонента и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функ­ции. Комплексные числа. Формула Муавра. Формулы Эйлера. Корни степени n.
3. Пределы. Непрерывность. Дифференцирование (по одной переменной)
Пределы. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Теорема о промежуточном значении. Дифференцируемые функции. Производные элементарных функций. Теоремы о среднем значении. Правило Лопиталя. Дифференциал.
4. Частные производные
Частные производные. Теорема Янга. Функции класса гладкости С^k. Цепное пра­вило. Дифференциал. Наклон линии уровня. Теорема о неявной функции. Однород­ные функции. Теорема Эйлера. Гомотетичные функции. Градиент и производная по направлению. Касательная гиперплоскость.
5. Эластичность. Эластичности замены
Определение. Правило Маршалла. Свойства эластичности. Эластичность по направ­лению. Предельная норма замены. Эластичность замены.
6. Системы уравнений
Общий вид системы уравнений. Матрица частных производных. Обобщенная теорема о неявной функции. Степени свободы. Функциональная зависимость. Якобиан. Теорема об обратной функции. Существование локальной и глобальной обратных функций. Теоремы Гейла-Никайдо. Теорема о сжимающем отображении. Теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке. Полурешетки в Rⁿ. Теорема Тарски о неподвижной точке. Основные случаи разрешимости системы линейных уравне­ний.
7. Неравенства
Неравенства треугольника. Неравенства между средними - арифметическим, гео­метрическим и гармоническим. Неравенства Гельдера, Коши-Шварца, Чебышева, Минковского и Иенсена.
8. Ряды. Формула Тейлора
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сходимость бесконечного ряда. Признаки сходимости. Приближения первого и второго порядка. Формулы Маклорена и Тейлора. Разложение функции в ряд. Биномиальные коэффициенты. Би­номиальная формула Ньютона. Полиномиальная формула. Формулы суммирова­ния. Константа Эйлера.
9. Интегрирование
Неопределенный интеграл. Интегрирование элементарных функций. Определен­ный интеграл. Сходимость интегралов. Сравнительный признак сходимости. Фор­мула Лейбница. Гамма-функция. Формула Стирлинга. Бета-функция. Формула трапеций. Формула Симпсона. Кратные интегралы.
10. Разностные уравнения
Решение линейных уравнений первого, второго и высших порядков. Устойчивость. Теорема Шура. Матричные формулировки.
11. Дифференциальные уравнения
Уравнение с разделяющимися переменными, однородное и логистическое. Линей­ные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Линейные уравнения порядка п. Метод вариации по­стоянных. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициен­тами. Устойчивость линейного уравнения. Условия устойчивости Рауса-Гурвица. Нормальные системы. Линейные системы. Матричные формулировки. Резольвен­та. Локальные и глобальные теоремы существования и единственности решения. Автономная система. Положения равновесия. Интегральные кривые. Локальная и глобальная (асимптотическая) устойчивость. Периодические решения. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Теорема Ляпунова. Гиперболические положения равнове­сия. Функции Ляпунова. Модели Лотка-Вольтерра. Теорема о локальной седловой точке. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Квазилинейные уравнения. Теорема Фробениуса.
12. Топология в Евклидовом пространстве
Основные понятия топологии точечных множеств. Сходимость последовательно­стей. Последовательность Коши. Непрерывные функции. Относительная тополо­гия. Равномерная непрерывность. Поточечная и равномерная сходимость функци­ональных последовательностей. Соответствие. Полунепрерывность снизу и сверху. Инфимум и супремум.
13. Выпуклость
Выпуклое множество. Выпуклая оболочка. Теорема Каратеодори. Экстремальные точки. Теорема Крейна-Мильмана. Теоремы отделимости. Вогнутые и выпуклые функции. Гессиан. Квазивогнутые и квазивыпуклые функции. Окаймленный гес­сиан. Псевдовогнутые и псевдовыпуклые функции.
14. Классическая теория оптимизации
Основные определения. Теорема об экстремальном значении. Стационарная точка. Условия первого порядка. Седловая точка. Результаты для функций одной переменной. Точка перегиба. Условия второго порядка. Оптимизация с ограничениями в виде равенств. Метод Лагранжа. Функции наилучшего значения и чувствительность решения задачи. Свойства множителей Лагранжа. Теорема покрытия.
15. Линейное и нелинейное программирование
Основные определения и результаты. Двойственность. Теневые цены. Дополняющая нежесткость. Лемма Фаркаша. Теоремы Куна-Таккера. Свойства седловой точки. Квазивогнутое программирование. Свойства функции наилучшего значе­ния. Теорема покрытия. Условия неотрицательности.
16. Вариационное исчисление и теория оптимального управления
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Условие Лежандра. Достаточные условия. Условия трансверсальности. Функции невязок. Бо­лее сложные вариационные задачи. Теория оптимального управления. Принцип максимума. Достаточные условия. Свойства функции наилучшего значения. Ли­нейная квадратичная задача. Бесконечный интервал. Чистые ограничения состоя­ния. Смешанные и чистые ограничения состояния.
17. Дискретная динамическая оптимизация
Динамическое программирование. Функция наилучшего значения. Фундаментальное уравнение. Формулировка «со свободным параметром управления». Разностное уравнение Эйлера в векторной форме. Бесконечный интервал. Дискретная теория оптимального управления.
18. Векторы в Rn. Абстрактные пространства
Линейная зависимость и независимость. Подпространства. Базис. Скалярное про­изведение. Норма вектора. Угол между векторами. Векторное пространство. Метрическое пространство. Нормированное векторное пространство. Банахово пространство. Теорема Асколи. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Неподвижные точ­ки сжимающего отображения. Достаточное условие Блэквелла. Пространство с внутренним произведением. Гильбертово пространство. Неравенства Коши-Шварца и Бесселя. Формула Парсеваля.
19. Матрицы
Специальные виды матриц. Действия с матрицами. Обратные матрицы и их свойства. След. Ранг. Нормы матриц. Экспоненциальная матрица. Линейные преобразования. Обобщенные обратные матрицы. Обратная матрица Мура-Пенроза. Блочные матрицы. Матрицы с комплексными элементами.
20. Определители
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей матрицы порядка n. Алгебраическое дополнение. Определитель Вандермонда и другие частные виды определителей. Миноры. Правило Крамера.
21. Собственные числа. Квадратичные формы
Собственные числа и собственные векторы. Диагонализация. Спектральная теорема. Теорема Жордана о разложении. Лемма Шура. Теорема Кэли-Гамильтона. Квадратичные формы. Типы определенности квадратичных форм и соответствующих матриц. Совместная диагонализация. Определенность квадратичной формы при линейных ограничениях.
22. Специальные матрицы. Системы Леонтьева
Свойства идемпотентной матрицы, ортогональной матрицы и матрицы перестановок. Неотрицательные матрицы. Корни Фробениуса. Разложимые матрицы. Матрицы с доминирующей главной диагональю. Системы Леонтьева.
23. Кронекерово произведение и векторизация матриц. Дифференцирование векторов и матриц
Определение и свойства кронекерова (тензорного) произведения. Оператор векто­ризации матрицы и его свойства. Дифференцирование векторов и матриц по эле­ментам, векторам и матрицам.
24. Сравнительная статика
Условия равновесия. Отношения взаимной зависимости. Монотонная сравнительная статика. Полурешетки в Rn. Супермодулярность. Возрастающие различия.
25. Свойства функций затрат и прибыли
Функция затрат. Условная функция спроса на факторы производства. Лемма Шеппарда. Функция прибыли. Функции спроса на факторы производства. Функция предложения. Лемма Хотеллинга. Уравнение Пу. Эластичность замены в теории производства. Эластичности замены по Аллену-Узаве и по Моришиме. Функции Кобба-Дугласа и с постоянной эластичностью замены. Закон минимума, функции затрат Дьюверта и транс логарифмическая.
26. Теория поведения потребителя
Отношение предпочтения. Функция полезности. Максимизация полезности. Функ­ция косвенной полезности. Функция спроса потребителя. Равенство Роя. Функции издержек. Функции спроса по Хиксу. Эластичности Курно, Энгеля и Слуцкого. Уравнение Слуцкого. Эквивалентное и компенсирующее изменения. Специальные формы функций - модели с линейными издержками, с почти идеальным спро­сом AIDS и транслогарифмическая функция издержек. Индексы цен. Идеальный индекс Фишера.
27. Сведения из финансов и теории роста
Сложные проценты. Эффективный годовой процент. Текущая стоимость. Внутренняя норма доходности. Правило Норстрема. Непрерывная капитализация процентов. Модель роста Солоу. Модель роста Рамсея.
28. Риск и теория несклонности к риску
Абсолютная и относительная несклонность к риску. Премия за риск Эрроу-Пратта. Стохастическое доминирование первой и второй степени. Теорема Адара-Рассела. Теорема Ротшильда-Штиглица
29. Финансы и стохастический анализ
Связь доходности и риска финансового актива в модели САРМ. Модель доходности опциона Блэка-Шоулза. Устойчивость. Обобщенная модель Блэка-Шоулза. Партитет put-call. Соответствие между американскими опционами put и call. Американский бессрочный опцион put. Стохастический интеграл. Формула Ито. Стохастическая задача оптимального управления. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.
30. Некооперативная теория игр
Игра п лиц в стратегической форме. Равновесие по Нэшу. Смешанные стратегии. Строго доминирующие стратегии. Игра двух лиц. Игра с нулевой суммой. Симметричная игра. Свойство седловой точки равновесия по Нэшу. Классический принцип минимакса для случая игры двух лиц с нулевой суммой. Эволюционная теория игр.
31. Вероятность и статистика
Аксиомы вероятностей. Правила вычисления вероятностей. Условная вероятность. Стохастическая независимость. Правило Байеса. Случайные переменные (одноменый случай). Функция плотности распределения вероятностей. Функция распре­деления. Математическое ожидание. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение. Центральные моменты. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Неравенства Чебышева и Иенсена. Производящие функции моментов и характеристические функции. Случайные переменные (двумерный случай). Ковариация. Неравенство Коши-Шварца. Коэффициент корреляции. Предельные и условные плотности. Стохастическая независимость. Условные математическое ожидание и дисперсия. Преобразование стохастических переменных. Статистические выводы. Смещение. Среднеквадратичная ошибка. Вероятностные пределы. Состоятельность. Критерий проверки гипотез. Мощность статистического критерия. Ошибки I и II типа. Уровень значимости. Критическая вероятность (Р-значение). Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
32. Распределения вероятностей. Метод наименьших квадратов
Распределения бета, биномиальное, бинормальное, х²-, экспоненциальное, экстремального значения (Гумбеля), F-, гамма-, геометрическое, гипергеометрическое, Лапласа, логистическое, логарифмически нормальное, полиномиальное, многомерное нормальное, отрицательное биномиальное, нормальное, Парето, Пуассона, t-распределение стьюдента, равномерное и Вейбулла. Метод наименьших квадратов. Множественная регрессия.