- Артикул:00-01118924
- Автор: Э. Камке
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 576
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1976
- Вес: 851 г
Развернуть ▼
Книга является фундаментальным трудом немецкого математика Эрих Камке, посвящённым теории и методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В книге систематизированы основные типы уравнений, приведены методы их интегрирования, многочисленные формулы, теоремы и примеры решений. Справочник отличается чёткой структурой и высокой математической строгостью, что делает его ценным источником как для практической работы, так и для углублённого изучения теории.
Издание предназначено для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников, работающих в области математики, физики и технических наук.
Содержание
Предисловие к четвертому изданию
Некоторые обозначения
Принятые сокращения в библиографических указаниях
Часть первая. Общие методы решения
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: у' = f(х, у); основные понятия
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального уравнения
1.2. Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: у'= f(x, y), методы решения
2.1. Метод ломаных
2.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёф
2.3. Применение степенных рядов
2.4. Более общий случай разложения в ряд
2.5. Разложение в ряд по параметру
2.6. Связь с уравнениями в частных производных
2.7. Теоремы об оценках
2.8. Поведение решений при больших значениях х
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной: Р(у' у, х) = 0
3.1. О решениях и методах решения
3.2. Регулярные и особые линейные элементы
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого порядка
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4.2. у' = f(ах + bу + с)
4.3. Линейные дифференциальные уравнения
4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений
4.5. Уравнение Бернулли у' + f(х)у +g(х)Уа = 0
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся ним
4.7. Обобщенно-однородные уравнения
4.8. Специальное уравнение Риккати: у' + ау2 = Ьхa
4.9. Общее уравнение Риккати: у' = f(х)у2+ g(х)у + h(x)
4.10. Уравнение Абеля первого рода
4.11. Уравнение Абеля второго рода
4.12. Уравнение в полных дифференциалах
4.13. Интегрирующий множитель
4.14. F(у', у, х) = 0, «интегрирование посредством дифференцирования»
4.15. (а) у = G(х,у'); (б) х=G(у,у')
4.16. (а) G(у',х) = 0; б) G(у',у) =0
4.17. (а) у - g(y'); (б) х= g(y')
4.18. Уравнения Клеро
4.19. Уравнение Лагранжа - Даламбера
4.20. Р(х, ху' - у, у') =0. Преобразование Лежандра
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2. Существование и единственность решения
5.3. Теорема существования Каратеодори
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров
5.5. Вопросы устойчивости
§ 6. Методы решения
6.1. Метод ломаных
6.2. Метод последовательных приближений Пикара - Линделёфа
6.3. Применение степенных рядов
6.4. Связь с уравнениями в частных производных
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения
6.7. Теоремы об оценках
§ 7. Автономные системы
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае n = 2
7.3. Критерии для определения типа особой точки
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы
8.1. Общие замечания
8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной
8.4. Теоремы об оценках
§ 9. Однородные линейные системы
9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений
9.2. Теоремы существования и методы решения
9.3. Редукция системы к системе с меньшим числом уравнений
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения
§ 10. Однородные линейные системы с особыми точками
10.1. Классификация особых точек
10.2. Слабо особые точки
10.3. Сильно особые точки
§ 11. Поведение решений при больших значениях х
§ 12. Линейные системы, зависящие от параметра
§ 13. Линейные системы с постоянными коэффициентами
13.1. Однородные системы
13.2. Системы более общего вида
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 14 Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: y(n)' = f (x, y,у'…,y(n-1))
§ 15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной: F (x, y, y',…, y(n)=0
15.1. Уравнения в полных дифференциалах
15.2. Обобщенно-однородные уравнения
15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
16.1. Общие замечания
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения
16.3. Исключение производной (n- 1)-го порядка
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5. Поведение решений при больших значениях х
§ 17. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
17.1. Свойства решений и теоремы существования
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения
17.3. О нулях решений
17.4. Фундаментальные решения
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
§ 18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми точками
18.1. Классификация особых точек
18.2. Случай, когда точка х = Е регулярная или слабо особая
18.3. Случай, когда точка х = ? регулярная или слабо особая
18.4. Случай, когда точка х = Е сильно особая
18.5. Случай, когда точка х = ? сильно особа
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9. Случай действительного переменного
§ 19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов
19.1. Общий принцип
19.2. Преобразование Лапласа
19.3. Специальное преобразование Лапласа
19.4. Преобразование Меллина
19.5. Преобразование Эйлера
19.6. Решение с помощью двойных интегралов
§ 20. Поведение решений при больших значениях х
20.1. Полиномиальные коэффициенты
20.2. Коэффициенты более общего вида
20.3. Непрерывные коэффициенты
20.4. Осцилляционные теоремы
§ 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, зависящие от параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.3. Уравнения Эйлера
22.4. Уравнение Лапласа
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами
22.6. Уравнение Похгаммера
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений
23.2. Некоторые дополнительные замечания
23.3. Теоремы о предельных значениях
23.4. Осцилляционная теорема
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
24.1. Общие замечания
24.2. Некоторые методы решения
24.2. Теоремы об оценках
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго по рядка
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь
25.4. Общие замечания о нулях решений
25.5. Нули решений на конечном интервале
25.6. Поведение решений при х ? ?
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка особыми точками
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения; действительное переменное
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное Метод ВБК
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка
28.1. Метод ломаных
28.2. Метод добавочного полушага
28.3. Метод Рунге - Хейна - Кутта
28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений
28.5. Метод Адамса
28.6. Дополнения к методу Адамса
§ 29. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков
29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка
29.3. Метод Рунге -Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка
29.4. Метод Адамса - Штёрмера для уравнения у"= f (x, y, y')
29.5. Метод Адамса - Штёрмера для уравнения y'' = f (x, y)
29.6. Метод Влесса для уравнения y'' = f (x, y, y')
Часть вторая. Краевые задачи и задачи о собственных значениях
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
§ 1. Общая теория краевых задач
1.1. Обозначения и предварительные замечания
1.2. Условия разрешимости краевой задачи
1.3. Сопряженная краевая задача
1.4. Самосопряженные краевые задачи
1.5. Функция Грина
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина
1.7. Обобщенная функция Грина
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения E fv (x) y (v) c+?g (x) y=f (x)
2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант ?(?)
2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система
2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма
2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра
2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
2.14. Применение к разложению по собственным функциям
2.15. Дополнительные замечания
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и краевых задач
3.1. Приближенный метод Галеркина - Ритца
3.2. Приближенный метод Граммеля
3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина - Ритца
3.4. Метод последовательных приближений
3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей
3.6. Метод возмущений
3.7. Оценки для собственных значений
3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных функций
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения F (y) = ?G (y)
4.1. Постановка задачи
4.2. Общие предварительные замечания
4.3. Нормальные задачи о собственных значениях
4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях
4.5. Разложение по собственным функциям
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений
6.1. Обозначения и условия разрешимости
6.2. Сопряженная краевая задача
6.3. Матрица Грина
6.4. Задачи о собственных значениях
6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений низших порядков
§ 7. Задачи первого порядка
7.1. Линейные задачи
7.2. Нелинейные задачи
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка
8.1. Общие замечания
8.2. Функция Грин
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода
8.4. Краевые условия при (х) ? ?
8.5. Отыскание периодических решений
8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка
9.1. Общие замечания
9.2. Самосопряженные задачи о собственных значениях
9.3. у'= F(х, ?) z, z'= - G(х, ?)у и краевые условия самосопряженности
9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип
9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций
9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные
9.7. Дополнительные условия более общего вида
9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале
§ 10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях второго порядка
9.11. Краевые задачи для конечного интервала
9.12. Краевые задачи для полуограниченного интервала
9.13. Задачи о собственных значениях
§ 11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего - восьмого порядков
11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка
11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка
11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка
11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка
Часть третья. Отдельные дифференциальные уравнения
Предварительные замечания
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1-367. Дифференциальные уравнения первой степени относительно у'
368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно у'
518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно у'
545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-90. ау" + …
91-145. (ах + b)у" +…
146-221. Х2у" +…
222-250. (х2±а2)у" +…
251-303. (ах2 + bх + с)у" +…
304-341. (ах3 + ...) y" +…
342-396. (ах* + ...)/' +...
397-410. (ахn +…)у" + ... ; n? 5
411-445. Прочив дифференциальные уравнения
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких порядков
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-72. аy" = F(х, у, у')
73-103. f (х)у" = F(х, у, у’)
104-187. f(х)уу" = Р{х,у,у’)
188-225. f(х,у)у"= F(х,у,у')
226-249. Прочие дифференциальные уравнения
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания
1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
19-25. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше первого
44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1-17. Системы двух дифференциальных уравнений
18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
Дополнения
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И. Зборник)
Дополнения к книге Э. Камке (Д. Митринович)
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и построения их общего решения с помощью рекуррентных формул (И. Зборник)
Предметный указатель