Развернуть ▼
Издание 1953 годаПонятие меры, возникшее первоначально в теории функций действительного переменного, в настоящее время играет первостепенную роль в самых разнообразных отделах математики. Наряду с теорией функций действительного переменного понятием меры, в той или иной форме, широко пользуются теория вероятностей, функциональный анализ, топологическая алгебра, качественная теория дифференциальных уравнений и т. п. Различные отделы теоретической физики, используя методы теории вероятностей, функционального анализа, эргодические теоремы и т. д., также оказываются связанными в известной степени с понятием меры.
Издаваемая в русском переводе книга П. Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым их приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве. Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей (гл. IX), а введение в исходном пространстве топологии - к изучению меры в локально компактных пространствах (гл. X). Наконец, последние две главы книги посвящены изучению инвариантных мер в локально компактных группах (мера Хаара). Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе.
Книга Халмоша построена таким образом, что она является одновременно и руководством для начинающего читателя и справочной монографией для специалиста. Основной текст, написанный с полным проведением всех доказательств, довольно элементарен. Напротив, дополнения, имеющиеся почти во всех параграфах и сформулированные в виде отдельных вопросов или теорем (часто с наводящими указаниями), рассчитаны на более подготовленного читателя. Здесь в очень сжатой форме содержится обширный фактический материал, относящийся как к самой теории меры, так и к разнообразным ее приложениям. Такая планировка книги позволила автору охватить, при сравнительно небольшом объеме, весьма широкий круг вопросов, причем теория меры излагается в ней с той степенью общности, которая нужна для ее многочисленных приложений. Автору удалось внести ряд усовершенствований в изложение даже таких классических вопросов, как, например, построение интеграла Лебега, теорема Фубини и т. д. Несколько формальный стиль книги Халмоша делает ее не очень подходящей для самого первоначального ознакомления с предметом. Однако читателю, уже имеющему понятие об основных идеях теории меры, она будет несомненно интересна. Для лиц, занимающихся главным образом различными приложениями теории меры к функциональному анализу, динамическим системам, случайным процессам и т. д., книга Халмоша может представить даже больший интерес чем, например, "Теория интеграла" Сакса.
Оглавление
Предисловие
Предисловие автора
Предварительные сведения
Глава I. Множества и классы
§ 1. Теоретико-множественное включение
§ 2. Соединения и пересечения
§ 3. Пределы, дополнения и разности
§ 4. Кольца и алгебры
§ 5. Порожденные кольца и сигма-кольца
§ 6. Монотонные классы
Глава II. Меры и внешние меры
§ 7. Мера на кольцах
§ 8. Мера на интервалах
§ 9. Свойства мер
§ 10. Внешние меры
§ 11. Измеримые множества
Глава III. Продолжения мер
§ 12. Свойства индуцированных мер
§ 13. Расширение и пополнение меры
§ 14. Внутренние меры
§ 15. Лебеговская мера
§ 16. Неизмеримые множества
Глава IV. Измеримые функции
§ 17. Пространства с мерой
§ 18. Измеримые функции
§ 19. Действия над измеримыми функциями
§ 20. Последовательности измеримых функций
§ 21. Сходимость почти всюду
§ 22. Сходимость по мере
Глава V. Интегрирование
§ 23. Интегрируемые простые функции
§ 24. Последовательности интегрируемых простых функций
§ 25. Интегрируемые функции
§ 26. Последовательности интегрируемых функций
§ 27. Свойства интеграла
Глава VI. Общие функции множества
§ 28. Обобщенные меры
§ 29. Разложения в смысле Хана и в смысле Жордана
§ 30. Абсолютная непрерывность
§ 31. Теорема Радона - Никодима
§ 32. Производные от обобщенных мер
Глава VII. Произведения пространств
§ 33. Декартовы произведения
§ 34. Сечения
§ 35. Произведения мер
§ 36. Теорема Фубини
§ 37. Конечномерные произведения пространств
§ 38. Бесконечномерные произведения пространств
Глава VIII. Отображения и функции
§ 39. Измеримые отображения
§ 40. Кольца с мерой
§ 41. Теорема об изоморфизме
§ 42. Функциональные пространства
§ 43. Функции множества и функции точки
Глаза IX. Вероятность
§ 44. Вводные замечания
§ 45. Независимость
§ 46. Ряды независимых функций
§ 47. Закон больших чисел
§ 48. Условные вероятности и условные математические ожидания
§ 49. Меры в произведениях пространств
Глава X. Локально компактные пространства
§ 50. Некоторые топологические теоремы
§ 51. Борелевские и бэровские множества
§ 52. Регулярные меры
§ 53. Построение борелевских мер
§ 54. Регулярные объемы
§ 55. Некоторые классы непрерывных функций
§ 56. Линейные функционалы
Глава XI. Мера Хаара
§ 57. Открытие подгруппы
§ 58. Существование меры Хаара
§ 59. Измеримые группы
§ 60. Единственность меры Хаара
Глава XII. Мера и топология в группах
§ 61. Задание топологии посредством меры
§ 62. Вейлевская топология
§ 63. Фактор-группы
§ 64. Регулярность меры Хаара
Указатель обозначений
Ссылки на литературу
Литература
Предметный указатель
Издание 2003 годаОсновные вопросы, рассматриваемые в книге - это теория меры, интеграл Лебега, а также их приложения, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре.
Книга построена таким образом, что она является одновременно и руководством для начинающего читателя, и справочной монографией для специалиста. Основной текст, написанный с полным проведением доказательств, довольно элементарен. Напротив, дополнения, имеющиеся почти во всех параграфах и сформулированные в виде отдельных вопросов или теорем (часто с наводящими указаниями), рассчитаны на более подготовленного читателя.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
ОглавлениеПредисловие
Предисловие автора
Предварительные сведения
Глава 1. Множества и классы
§ 1. Теоретико-множественное включение
§ 2. Соединения и пересечения
§ 3. Пределы, дополнения и разности
§ 4. Кольца и алгебры
§ 5. Порожденные кольца и сигма-кольца
§ 6. Монотонные классы
Глава 2. Меры и внешние меры
§ 7. Мера на кольцах
§ 8. Мера на интервалах
§ 9. Свойства мер
§ 10. Внешние меры
§ 11. Измеримые множества
Глава 3. Продолжения мер
§ 12. Свойства индуцированных мер
§ 13. Расширение и пополнение меры
§ 14. Внутренние меры
§ 15. Лебеговская мера
§ 16. Неизмеримые множества
Глава 4. Измеримые функции
§ 17. Пространства с мерой
§ 18. Измеримые функции
§ 19. Действия над измеримыми функциями
§ 20. Последовательности измеримых функций
§ 21. Сходимость почти всюду
§ 22. Сходимость по мере
Глава 5. Интегрирование
§ 23. Интегрируемые простые функции
§ 24. Последовательности интегрируемых простых функций
§ 25. Интегрируемые функции
§ 26. Последовательности интегрируемых функций
§ 27. Свойства интеграла
Глава 6. Общие функции множества
§ 28. Обобщенные меры
§ 29. Разложения в смысле Хана и в смысле Жордана
§ 30. Абсолютная непрерывность
§ 31. Теорема Радона-Никодима
§ 32. Производные от обобщенных мер
Глава 7. Произведения пространств
§ 33. Декартовы произведения
§ 34. Сечения
§ 35. Произведения мер
§ 36. Теорема Фубини
§ 37. Конечномерные произведения пространств
§ 38. Бесконечномерные произведения пространств
Глава 8. Отображения и функции
§ 39. Измеримые отображения
§ 40. Кольца с мерой
§ 41. Теорема об изоморфизме
§ 42. Функциональные пространства
§ 43. Функции множества и функции точки
Глава 9. Вероятность
§44. Вводные замечания
§ 45. Независимость
§ 46. Ряды независимых функций
§ 47. Закон больших чисел
§ 48. Условные вероятности и условные математические ожидания
§ 49. Меры в произведениях пространств
Глава 10. Локально компактные пространства
§ 50. Некоторые топологические теоремы
§ 51. Борелевские и бэровские множества
§ 52. Регулярные меры
§ 53. Построение борелевских мер
§ 54. Регулярные объемы
§ 55. Некоторые классы непрерывных функций
§ 56. Линейные функционалы
Глава 11. Мера Хаара
§ 57. Открытие подгруппы
§ 58. Существование меры Хаара
§ 59. Измеримые группы
§ 60. Единственность меры Хаара
Глава 12. Мера и топология в группах
§ 61. Задание топологии посредством меры
§ 62. Вейлевская топология
§ 63. Фактор-группы
§ 64. Регулярность меры Хаара
Указатель обозначений
Ссылки на литературу
Список литературы
Предметный указатель
