- Артикул:00-01111368
- Автор: А. Гурвиц, P. Курант
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 648
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1968
- Вес: 884 г
Развернуть ▼
Репринтное издание
Книга представляет собой фундаментальное исследование свойств и теорем аналитических и комплексных функций. В ней подробно рассматриваются основные понятия, такие как аналитические функции, их разложение в ряды, свойства отображений и особенности поведения в окрестностях особых точек. Особое внимание уделяется геометрической интерпретации функций, теории конформных отображений и связям между аналитическими свойствами и топологическими структурами. В книге также обсуждаются важные идеи, связанные с эллиптическими функциями и более общими концепциями анализа, что делает её важным источником для математиков и студентов, желающих глубже понять структуру и развитие теории функций комплексной переменной.
Содержание
Предисловие переводчика
Часть первая
Общие вопросы теории аналитических функций
Глава 1. Комплексные числа
§ 1. Понятие комплексного числа
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел
§ 3. Сходимость числовых последовательностей. Сфера Римана
§ 4. Множества на комплексной плоскости
§ 5. Ряды с комплексными членами
§ 6. Функции комплексного переменного
§ 7. Равномерная сходимость
Глава 2. Степенные ряды
§ 1. Область сходимости степенного ряда.
§ 2. Формулы для радиуса сходимости
§ 3. Действия со степенными рядами
§ 4. Теорема единственности
§ 5. Обобщение полученных результатов
§ 6. Переразложение степенного ряда
§ 7. Производные степенного ряда
§ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда
§ 9. Ряды Лорана
Глава 3. Понятие аналитической функции
§ 1. Моногенные системы степенных рядов.
§ 2. Понятие аналитической функции
§ 3. Ветви аналитической функции
§ 4. Примеры
§ 5. Особые точки степенного ряда.
§ 6. Основная теорема алгебры
§ 7. Особые точки однозначных аналитических функций
§ 8. Особые точки многочленов и рациональных функций
§ 9. Некоторые теоремы о регулярных функциях
§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах
Глава 4. Исследование основных элементарных функций
§ 1. Экспонента
§ 2. Тригонометрические функции
§ 3. Логарифм
§ 4. Степень с произвольным показателем.
Глава 5. Интегрирование аналитических функций
§ 1. Равномерная непрерывность и равномерная дифференцируемость аналитических функций
§ 2. Интегрирование степенных рядов
§ 3. Интегрирование производной от регулярной функции
§ 4. Примеры
§ 5. Интегрирование регулярных функций
§ 6. Теорема Коши и ее видоизменения
§ 7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана.
§ 8. Вычеты
§ 9. Формулы для числа нулей и полюсов
Глава 6. Мероморфные функции
§ 1. Понятие мероморфной функции
§ 2. Мероморфные функции с конечным числом полюсов
§ 3. Теорема Миттаг-Леффлера
§ 4. Общий вид мероморфной функции с заданными полюсами
§ 5. Случай простых полюсов
§ 6. Примеры
§ 7. Метод Коши
§ 8. Примеры
§ 9. Целые функции с заданными нулями.
§ 10. Представление мероморфных функций через целые
§11. Представление гамма-функции Эйлера в виде бесконечного произведения
§ 12. Представление гамма-функции интегралом
Глава 7. Обращение аналитических функций
§ 1. Обращение степенных рядов
§ 2. Примеры
§ 3. Оценка радиуса сходимости ряда для обратной функции
Часть вторая
Эллиптические- функции
Глава 1. Двоякопериодические мероморфные функции
§ 1. Замечания из аналитической геометрии
§ 2. Множество периодов как группа.
§ 3. Параллелограмм периодов.
§ 4. Поле эллиптических функций
§ 5. Общие теоремы об эллиптических функциях
§ 6. Функция
§ 7. Дифференциальное уравнение для функции
§ 8. Теорема сложения для функции
§ 9. Выражение произвольных эллиптических функций через функцию р
§ 10. Дальнейшие свойства эллиптических функций
§ 11. Функция
§ 12. Выражение эллиптических функций через функцию
§ 13. Функция
§ 14. Выражение эллиптических функций через функцию
§ 15. Функции а как функции
Глава 2. Тета-функции
§ 1. Ряд Фурье для периодических целых функций
§ 2. Обозначения.
§ 3. Функция
§ 4. Функции
§ 5. Функции
§ 6. Сводка формул.
§ 7. Обобщение понятия тета-функции и зависимость тета-функций
§ 8. Связь функций между собой. Нули тета-функций
§ 9. Выражение
§ 10. Разложение тета-функций в бесконечное произведение
§ 11. Приложения к теории чисел
§ 12. Разложение функции как функции от в ряд простейших дробей и выражения для величин
§ 13. Разложение функции
Глава 3. Эллиптические функции Якоби
§ 1. Определение функций
§ 2. Функции Якоби как эллиптические функции
§ 3. Дифференциальные уравнения для функций Якоби
§ 4. Теоремы сложения для функций Якоби.
§ 5. Тригонометрические функции как предельный случай функций Якоби
Глава 4. Эллиптические модулярные функции
§ 1. Модулярная группа и ее фундаментальная область
§ 2. Модулярные функции и модулярные формы
§ 3. Решение уравнения
§ 4. Решение системы уравнений
§ 5. Решение уравнения
Глава 5. Алгебраические кривые и римановы поверхности, связанные с эллиптическими функциями
§ 1. Алгебраические кривые и униформизация
§ 2. Алгебраическая кривая
§ 3. Алгебраическая кривая
§ 4. Алгебраическая кривая Лежандра
§ 5. Топологическая природа эллиптической алгебраической кривой
§ 6. Двулистная форма римановой поверхности
Глава 6. Эллиптические интегралы
§ 1. Определение и постановка задач
§ 2. Приведение эллиптических интегралов к простейшим
§ 3. Интегралы по замкнутым кривым на римановой поверхности
§ 4. Периоды нормальных эллиптических интегралов
Глава 7. Преобразование эллиптических функций
§ 1. Преобразование первого порядка функций Вейерштрасса
§ 2, Преобразование первого порядка тета-функций
§ 3. Преобразование второго порядка
§ 4. Формулы связи между функциями Вейерштрасса и Якоби
§ 5. Преобразование Ландена
§ 6. Среднее арифметико-геометрическое
Часть третья
Геометрические идеи теории аналитических функций
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§ 1. Комплексные числа
§ 2. Кривые и области.
§ 3. Криволинейные интегралы
§ 4. Дополнительные сведения из топологии
Глава 2. Регулярные функции и их свойства
§ 1. Условие дифференцируемости
§ 2. Обратная функция.
§ 3. Интегрирование регулярных функций
§ 4. Теорема Коши
§ 5. Теорема Коши для многосвязных областей и теорема о вычетах
§ 6. Элементарные функции
§ 7. Интегральная формула Коши
§ 8. Конформное отображение
Глава 3. Следствия интегральной формулы Коши
§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Теорема единственности
§ 3. Некоторые приложения теоремы о вычетах
§ 4. Принцип максимума и лемма Шварца
§ 5. Некоторые оценки. Теорема Лиувилля
§ 6. Принцип компактности для регулярных функций
§ 7. Связь регулярных функций с гармоническими
§ 8. Интеграл Пуассона
§ 9. Следствия
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Граничные значения интеграла типа Коши
§ 12. Течения жидкости
Глава 4. Аналитическое продолжение и римановы поверхности
§ 1. Общие принципы аналитического продолжения
§ 2. Понятие аналитической функции. Особые точки
§ 3. Римановы поверхности
§ 4. Алгебраические функции.
§ 5. Принцип симметрии Римана-Шварца
Глава 5. Исследование некоторых элементарных функций
§ 1. Дробно-линейные функции
§ 2. Функции
§ 3. Функция
§ 4. Логарифмическая и показательная функции
§ 5. Тригонометрические функции
§ 6. Степенная функция с произвольным показателем
§ 7. Течение жидкости в окрестности особых точек и критических точек комплексного потенциала
§ 8. Круг как плоскость Лобачевского.
Глава 6. Конформное отображение односвязных однолистных областей
§ 1. Обсуждение теоремы Римана и вспомогательные теоремы
§ 2. Доказательство теоремы Римана
§ 3. Непрерывная зависимость отображающей функции от области
§ 4. Единственность отображения
§ 5. Соответствие границ при конформном отображении
§ 6. Функция Грина и задача Дирихле
§ 7. "Знакопеременная метода" Шварца
§ 8. Теоремы искажения
§ 9. Обобщения и приложения принципа максимума
Глава 7. Некоторые специальные конформные отображения
§ 1. Формула Кристоффеля-Шварца
§ 2. Функции прямолинейного треугольника
§ 3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции
§ 4. Модулярная функция.
§ 5. Теорема Пикара
§ 6. Теоремы Шоттки и Ландау
§ 7. Дифференциальные уравнения для отображающих функций круговых многоугольников
Глава 8. Принцип Дирихле и конформные отображения многосвязных областей
§ 1. Наводящие соображения
§ 2. Интеграл Дирихле и формула Грина
§ 3. Некоторые теоремы о гармонических функциях
§ 4. Экстремальная задача, относящаяся к задаче Дирихле
§ 5. Постановка экстремальной задачи, отвечающей задаче отыскания отображающей функции
§ 6. Существование минимизирующей функции для областей, ограниченных дугами окружностей
§ 7. Непрерывная зависимость минимизирующей функции экстремальной задачи от области
§ 8. Конформное отображение однолистной области на плоскость с разрезами
§ 9. Экстремальные задачи с другими особенностями допустимых функций
§ 10. Экстремальные задачи на римановых поверхностях
Глава 9. Мероморфные функции на римановых поверхностях
§ 1. Топологические образы алгебраических римановых поверхностей
§ 2. Абелевы интегралы
§ 3. Теоремы о существовании и единственности для абелевых интегралов
§ 4. Алгебраические функции
§ 5. Абстрактные римановы поверхности
§ 6. Абелевы дифференциалы. Теорема Римана — Роха
§ 7. Автоморфные функции
§ 8. Униформизация
§ 9. Отображение на круговые области и униформизация с неполным рассечением римановой поверхности
§ 10. Классификация римановых поверхностей с точки зрения конформных отображений
Предметный указатель
Рекомендуем
