- Артикул:00-01095329
- Автор: С.Л. Соболев
- Тираж: 8000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Государственное издательство технико-теоретической литературы (все книги издательства)
- Город: Москва-Ленинград
- Страниц: 424
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1950
- Вес: 605 г
- Серия: Учебник для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Предмет теории уравнений математической физики составляет изучение дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений, описывающих различные явления природы. Точные рамки этой дисциплины, как это обычно бывает, определить довольно трудно. Кроме того, большое разнообразие вопросов, относящихся к уравнениям математической физики, не позволяет охватить их сколько-нибудь полно в университетском курсе. Содержание настоящей книги составляет лишь часть обширной теории уравнений математической физики. В неё вошло лишь то, что казалось нам наиболее важным для первоначального ознакомления с этой теорией.
Наш курс будет посвящён по преимуществу изучению уравнений в частных производных 2-го порядка с одной неизвестной функцией, в частности волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения теплопередачи, обычно называемых классическими уравнениями математической физики.
Попутно мы разовьём необходимую теорию смежных вопросов.
Содержание
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
Лекция I. Выводы основных уравнений
§ 1. Формула Остроградского
§ 2. Уравнение колебаний струны
§ 3. Уравнение колебаний мембраны
§ 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и уравнение Лапласа
§ 5. Уравнение передачи тепла
§ 6. Звуковые волны
Лекция II. Постановка задач математической физики. Пример Адамара
§ 1. Начальные и краевые условия
§ 2. Понятие о корректно поставленной задаче. Пример Адамара
Лекция III. Классификация линейных уравнений 2-го порядка
§ 1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический вид уравнения
§ 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными
§ 3. Второй канонический вид гиперболических уравнении с двумя независимыми переменными
§ 4. Характеристики
Лекция IV. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера
§ 1. Формула Даламбера. Неограниченная струна
§ 2. Струна с двумя закреплёнными концами
§ 3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий
Лекция V. Метод Римана
§ 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений
§ 2. Сопряжённые дифференциальные операторы
§ 3. Метод Римана
§ 4. Функция Римана для сопряжённого уравнения
§ 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана
Лекция VI. Кратные интегралы
§ 1. Замкнутые и открытые множества точек
§ 2. Интегралы по открытым множествам от непрерывных функций
§ 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам от непрерывных функций
§ 4. Суммируемые функции
§ 5. Неопределённые интегралы от функции одной переменной. Примеры
§ 6. Теорема Егорова
§ 7. Сходимость в среднем суммируемых функций
§ 8. Теорема Лебега-Фубини
Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра
§ 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра
§ 2. Производная по параметру от несобственных интегралов
Лекция VIII. Уравнение распространения тепла
§ 1. Фундаментальное решение
§ 2. Решение задачи Коши
Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона
§ 1. Теорема максимума
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грина
§ 3. Потенциалы объёма, простого слоя и двойного слоя
Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина
§ 1. Теорема о среднем арифметическом
§ 2. Поведение гармонической функции вблизи особой точки
§ 3. Поведение гармонической функции на бесконечности. Взаимносопряжённые точки
Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Ньютонов потенциал
Лекция XII. Решение задачи Дирихле для шара
Лекция XIII. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства
Лекция XIV. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы
§ 1. Характеристики для волнового уравнения
§ 2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши
Лекция XV. Свойства потенциалов простого и двойного слоя
§ 1. Общие замечания
§ 2. Свойства потенциала двойного слоя
§ 3. Свойства потенциала простого слоя
§ 4. Правильная нормальная производная
§ 5. Нормальная производная потенциала двойного слоя
§ 6. Поведение потенциалов в бесконечности
Лекция XVI. Сведение к интегральным уравнениям задач Дирихле и Неймана
§ 1. Постановка задач и единственность их решений
§ 2. Интегральные уравнения для поставленных задач
Лекция XVII. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
§ 1. Фундаментальное решение
§ 2. Основные задачи
§ 3. Логарифмический потенциал
Лекция XVIII. Теория интегральных уравнений
§ 1. Общие замечания
§ 2. Метод последовательных приближений
§ 3. Уравнение Вольтерра
§ 4. Уравнения с вырожденным ядром
§ 5. Ядро специального вида. Теоремы Фредгольма для общего случая
§ 6. Обобщение результатов
§ 7. Уравнения с неограниченными ядрами специального вида
Лекция XIX. Применение теории Фредгольма к решению задач Дирихле и Неймана
§ 1. Вывод свойств интегральных уравнений
§ 2. Исследование уравнений
Лекция XX. Функция Грина
§ 1. Дифференциальные операторы с одной независимой переменной
§ 2. Сопряжённые операторы и сопряжённые семейства
§ 3. Основная лемма об интегралах сопряжённых уравнений
§ 4. Функция влияния
§ 5. Функция Грина и её построение
§ 6. Обобщённая функция Грина для линейного уравнения 2-го порядка
§ 7. Примеры
Лекция XXI. Функция Грина для оператора Лапласа
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле
§ 2. Понятие о функции Грина для задачи Неймана
Лекция XXII. Корректность постановки краевых задач математической физики
§ 1. Уравнение теплопроводности
§ 2. Понятие обобщённого решения
§ 3. Волновое уравнение
§ 4. Обобщённые решения волнового уравнения
§ 5. Свойство обобщённых решений однородных уравнений
§ 6. Неравенства Буняковского и Минковского
§ 7. Теорема Рисса-Фишера
Лекция XXIII. Метод Фурье
§ 1. Разделение переменных
§ 2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной среды и колебаниями механических систем с конечным числом степеней свободы
§ 3. Неоднородное уравнение
§ 4. Продольные колебания стержня со свободными концами
Лекция XXIV. Интегральные уравнения с вещественным симметрическим ядром
§ 1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы
§ 2. Доказательство существования собственного значения
Лекция XXV. Билинейная Формула и теорема Гильберта
§ 1. Билинейная формула
§ 2. Теорема Гильберта-Шмидта
§ 3. Обоснование метода Фурье для решения краевых задач математической физики
§ 4. Применение теории интегральных уравнений с симметрическим ядром
Лекция XXVI. Неоднородное интегральное уравнение с симметрическим ядром
§ 1. Разложение резольвенты
§ 2. Представление решения при помощи аналитических функций
Лекция XXVII. Колебания прямоугольного параллелепипеда
Лекция XXVIII. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах. Примеры применения метода Фурье
§ 1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах
§ 2. Функции Бесселя
§ 3. Полное разделение переменных в уравнении ?u = 0 в полярных координатах
Лекция XXIX. Гармонические полиномы и сферические функции
§ 1. Определение сферических функций
§ 2. Приближение при помощи сферических функций
§ 3. Задача Дирихле для шара
§ 4. Дифференциальные уравнения для сферических функций
Лекция XXX. Некоторые простейшие свойства сферических функций
§ 1. Представление полиномов Лежандра
§ 2. Производящая функция
§ 3. Формула Лапласа
Алфавитный указатель
Рекомендуем
