- Артикул:00-01090319
- Автор: А. И. Кострикин
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 496
- Формат: 84x108/32
- Год: 1977
- Вес: 752 г
- Серия: Учебник для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
В основу учебника положен курс лекций по высшей алгебре, читавшийся в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ. В книге изложены, наряду с традиционными вопросами, общие свойства отображений множеств и бинарных отношений, группы преобразований, структурные свойства простейших групп, встречающихся на практике, элементы теории представлений, вопросы делимости в кольцах, первичные сведения о конечных полях и о полях алгебраических чисел. Кроме большого числа примеров в тексте, в книгу включено более 200 упражнений, многие из которых снабжены краткими указаниями к решению. Книга, написанная в соответствии с новой программой по алгебре, является учебником для студентов младших курсов университетов и пединститутов.
Оглавление
Предисловие
Советы читателю
Часть I. Основы алгебры
Дополнительная литература
Глава I. Истоки алгебры
§ 1. Алгебра вкратце
§ 2. Некоторые модельные задачи
1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах
2. Задача о состояниях многоатомной молекулы
3. Задача о кодировании сообщения
4. Задача о нагретой пластинке
§ 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги
1. Терминология
2. Эквивалентность линейных систем
3. Приведение к ступенчатому виду
4. Исследование системы линейных уравнений
5. Отдельные замечания и примеры
§ 4. Определители небольших порядков
Упражнения
§ 5. Множества и отображения
1. Множества
2. Отображения
Упражнения
§ 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений
1. Бинарные отношения
2. Отношение эквивалентности
3. Факторизация отображений
4. Упорядоченные множества
Упражнения
§ 7. Принцип математической индукции
§ 8. Арифметика целых чисел
1. Основная теорема арифметики
2. НОД и НОК в Z
3. Алгоритм деления в Z
Упражнения
Глава 2. Арифметические линейные пространства. Матрицы
§ 1. Арифметические линейные пространства
1. Мотивировка
2. Основные определения
3. Линейные комбинации. Линейная оболочка
4. Линейная зависимость
5. Базис. Размерность
Упражнения
§ 2. Ранг матрицы
1. Возвращение к уравнениям
2. Ранг матрицы
3. Критерий совместности
Упражнения
§ 3. Линейные отображения. Действия с матрицами
1. Матрицы и отображения
2. Произведение матриц
3. Квадратные матрицы
Упражнения
§ 4. Пространство решений
1. Решения однородной линейной системы
2. Линейные многообразия. Решения неоднородной системы
3. Ранг произведения матриц
4. Классы эквивалентных матриц
Упражнения
Глава 3. Определители
§ 1. Определители: построение и основные свойства
1. Построение методом полной индукции
2. Основные свойства определителей
Упражнения
§ 2. Дальнейшие свойства определителей
1. Разложение определителя по любому столбцу
2. Свойства определителей относительно столбцов
3. Транспонирование определителя
4. Определители специальных матриц
5. К построению теории определителей
Упражнения
§ 3. Применения определителей
1. Критерий невырожденности матрицы
2. Вычисление ранга матрицы
Упражнения
Глава 4. Алгебраические структуры (группы, кольца, поля)
§ 1. Множества с алгебраическими операциями
1. Бинарные операции
2. Полугруппы и моноиды
3. Обобщенная ассоциативность; степени
4. Обратимые элементы
Упражнения
§ 2. Группы
1. Определение и примеры
2. Системы образующих
3. Циклические группы
4. Симметрическая и знакопеременная группы
Упражнения
§ 3. Морфизмы групп
1. Изоморфизмы
2. Гомоморфизмы
3. Словарик. Примеры
4. Смежные классы по подгруппе
5. Мономорфизм Sn - GL (n)
Упражнения
§ 4. Кольца и поля
1. Определение и общие свойства колец
2. Сравнения. Кольцо классов вычетов
3. Гомоморфизмы и идеалы колец
4. Понятие о факторгруппе и о факторкольце
5. Типы колец. Поле
6. Характеристика поля
7. Замечание о линейных системах
Упражнения
Глава 5. Комплексные числа и многочлены
§ 1. Поле комплексных чисел
1. Вспомогательная конструкция
2. Комплексная плоскость
3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами
4. Возведение в степень и извлечение корня
5. Теорема единственности
Упражнения
§ 2. Кольцо многочленов
1. Многочлены от одной переменной
2. Многочлены от многих переменных
3. Алгоритм деления с остатком
Упражнения
§ 3. Разложение в кольце многочленов
1. Элементарные свойства делимости
2. НОД и НОК в кольцах
3. Факториальность евклидовых колец
4. Неприводимые многочлены
Упражнения
§ 4. Поле отношений
1. Построение поля отношений целостного кольца
2. Поле рациональных дробей
3.Простейшие дроби
Упражнения
Глава 6. Корни многочленов
§ 1. Общие свойства корней
1. Корни и линейные множители
2. Полиномиальные функции
3. Дифференцирования кольца многочленов
4. Кратные множители
5. Формулы Виета
Упражнения
§ 2. Симметрические многочлены
1. Кольцо симметрических многочленов
2. Основная теорема о симметрических многочленах
3. Метод неопределенных коэффициентов
4. Дискриминант многочлена
5. Результант
Упражнения
§ 3. Алгебраическая замкнутость поля С
1. Формулировка основной теоремы
2. Поле разложения многочлена
3. Доказательство основной теоремы
§ 4. Многочлены с вещественными коэффициентами
1. Разложение на неприводимые множители в R [Х]
2. Проблема локализации корней многочлена
3. Устойчивые многочлены
Упражнения
Часть II. Группы. Кольца. Модули
Дополнительная литература
Глава 7. Группы
§ I. Классические группы малых размерностей
1. Общие определения
2. Параметризация групп SU (2), SO (3)
3. Эпиморфизм SU (2) - SO(3)
4. Геометрическое изображение группы SO(3)
Упражнения
§ 2. Действие групп на множествах
1. Гомоморфизмы G - S(Q)
2. Орбиты и стационарные подгруппы точек
3. Примеры действий групп на множествах
4. Однородные пространства
Упражнения
§ 3. Некоторые теоретико-групповые конструкции
1. Общие теоремы о гомоморфизмах групп
2. Разрешимые группы
3. Простые группы
4. Произведения групп
5. Образующие и определяющие соотношения
Упражнения
§ 4. Теоремы Силова
Упражнения
§ 5. Конечные абелевы группы
1. Примарные абелевы группы
2. Основная теорема о конечных абелевых группах
Упражнения
Глава 8. Элементы теории представлений
§ 1. Определения и примеры линейных представлений
1. Основные понятия
2. Примеры линейных представлений
Упражнения
§ 2. Унитарность и приводимость
1. Унитарные представления
2. Полная приводимость
Упражнения
§ 3. Конечные группы вращений
1. Порядки конечных подгрупп в SO (3)
2. Группы правильных многогранников
Упражнения
§ 4. Характеры линейных представлений
1. Лемма Шура и ее следствие
2. Характеры представлений
Упражнения
§ 5. Неприводимые представления конечных групп
1. Число неприводимых представлений
2. Степени неприводимых представлений
3. Представления абелевых групп
4. Представления некоторых специальных групп
Упражнения
§ 6. Представления групп SU (2) и SO (3)
Упражнения
§ 7. Тензорное произведение представлений
1. Контрагредиентное представление
2. Тензорное произведение представлений
3. Кольцо характеров
4. Инварианты линейных групп
Упражнения
Глава 9. К теории полей, колец и модулей
§ 1. Конечные расширения полей
1. Примитивные элементы и степени расширений
2. Изоморфизм полей разложения
3. Конечные поля
4. Формула обращения Мёбиуса и ее применения
Упражнения
§ 2. Отдельные результаты о кольцах
1. Новые примеры факториальных колец
2. Теоретико-кольцевые конструкции
3. Теоретико-числовые применения
Упражнения
§ 3. Модули
1. Первоначальные сведения о модулях
2. Свободные модули
3. Целые элементы кольца
Упражнения
§ 4. Алгебры над полем
1. Определения и примеры алгебр
2. Алгебры с делением (тела)
3. Групповые алгебры и модули над ними
4. Неассоциативные алгебры
Упражнения
Дополнение. Жорданова нормальная форма матриц
Предметный указатель
Рекомендуем
