- Артикул:00-01118710
- Автор: В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный
- Тираж: 6000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Вышэйшая школа (все книги издательства)
- Город: Минск
- Страниц: 672
- Формат: 70х90 1/16
- Год: 1975
- Вес: 1941 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Книга является вторым томом учебного пособия по теории вычислительных методов математики для университетов. Содержит изложение основных вычислительных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Рассматриваются задачи улучшения сходимости для случая рядов и последовательностей. Говорится о применении функционального анализа к теории приближенных методов математики. Дается описание современного состояния работ по методам приближенного решения некорректных задач.
См. также Вычислительные методы высшей математики. Том 1
Содержание
Предисловие
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 6.1. Введение
§ 6.2. Разностные методы
6.1.2. Экстраполяционный метод Адамса
6.2.2. Интерполяционный метод Адамса
6.2.3. Сходимость разностных методов типа Адамса
6.2.4. Экстраполяционный и интерполяционный методы Штермера
6.2.5. Сходимость методов типа Штермера
6.2.6. Понятие о разностном методе Коуэлла
6.2.7. Устойчивость и сходимость разностных методов
§ 6.3. Одношаговые методы
6.3.1. Способ Рунге-Кутта построения одношаговых методов
6.3.2. Другие способы построения одношаговых методов
6.3.3. Сходимость и оценки погрешности одношаговых методов
6.3.4. Главный член погрешности и простейшие способы его практической оценки. Правило Рунге
6.3.5. Двусторонние методы
§ 6.4. Способы построения начала таблицы
§ 6.5. Решение граничных задач
6.5.1. Постановка задачи. Понятие о многоточечных и граничных задачах
6.5.2. Линейные многоточечные задачи. Метод редукции к задачам Коши
6.5.3. Другие методы приведения граничной задачи к задачам с начальными условиями. Метод прогонки
6.5.4. Вариант метода прогонки
§ 6.6. Метод сеток решения граничных задач для линейных дифференциальных уравнений
6.6.1. Идея метода сеток
6.6.2. Методы замены обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий системой алгебраических уравнений
6.6.3. О разрешимости систем разностных уравнений
6.6.4. Метод разностной прогонки и его устойчивость
6.6.5. Об оценке погрешности метода сеток
§ 6.7. Метод сеток для решения нелинейных граничных задач
§ 6.8. Метод коллокации
§ 6.9. Вариационные методы решения граничных задач
6.9.1. О связи между граничными задачами дифференциальных уравнений и вариационными задачами
6.9.2. Задача нахождения минимума функционала и минимизирующая последовательность
6.9.3. Метод Ритца
6.9.4. О выборе координатных функций
6.9.5. Оценка погрешности и порядок сходимости метода Ритца
6.9.6. Приложение метода Ритца к проблеме нахождения собственных значений и собственных функций граничной задачи
§ 6.10. Метод Галеркина и метод моментов
§ 6.11. Понятие о методе наименьших квадратов
Литература
Глава 7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных
§7.1. Метод сеток решения граничных задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа
7.1.1. Идея метода
7.1.2. Способ замены дифференциального уравнения сеточным, основанный на замене каждого члена уравнения в отдельности
7.1.3. Способ замены дифференциального оператора сеточным, основанный на замене дифференциального оператора в целом
7.1.4. Способы замены граничных условий сеточными уравнениями
7.1.5. О разрешимости системы сеточных уравнений
7.1.6. Оценка погрешности и сходимость метода сеток
7.1.7. Правило Рунге
7.1.8. Метод матричной прогонки
§ 7.2. Метод сеток решения дифференциальных уравнений параболического типа
7.2.1. Решение задачи Коши
7.2.2. Решение смешанных задач
7.2.3. Об устойчивости и сходимости разностных схем
§ 7.3. Метод сеток решения дифференциальных уравнений гиперболического типа
7.3.1. Решение задачи Коши
7.3.2. Решение смешанной задачи
7.3.3. О сходимости метода сеток в случае волнового уравнения
§ 7.4. Метод характеристик
7.4.1. Характеристики дифференциального уравнения в частных производных второго порядка
7.4.2. Приближенное построение сетки характеристик
7.4.3. Нахождение характеристических полосок
7.4.4. Уравнения характеристик в случае системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
7.4.5. Численное интегрирование уравнений характеристик
7.4.6. Сходимость метода характеристик
§ 7.5. Метод прямых
7.5.1. Метод прямых для уравнений параболического типа. Поперечные схемы метода
7.5.2. Разрешимость и сходимость поперечных схем метода прямых
7.5.3. Продольные схемы метода прямых для уравнений параболического типа
7.5.4. Сходимость продольных схем метода прямых
7.5.5. Метод прямых для гиперболических уравнений. Поперечные схемы
7.5.6. Разрешимость и сходимость поперечных схем метода прямых в случае гиперболических уравнений
7.5.7. Продольный вариант метода прямых для гиперболических уравнений
7.5.8. Метод прямых для уравнений эллиптического типа
§ 7.6. Метод интегральных соотношений
7.6.1. Идея метода интегральных соотношений
7.6.2. Метод интегральных соотношений в случае задачи Гурса для гиперболического уравнения второго порядка
§ 7.7. Вариационные и примыкающие к ним методы
7.7.1. Метод Ритца
7.7.2. Метод Куранта
7.7.3. Метод Трефтца
7.7.4. Метод Канторовича
7.7.5. Метод наименьших квадратов
7.7.6. Понятие о методах моментов и Галеркина
Литература
Глава 8. Интегральные уравнения
§ 8.1. Введение
§ 8.2. Уравнения второго рода вида Вольтерра
8.2.1. Построение вычислительного правила
8.2.2. Правило вычислений с разностями второго порядка
8.2.3. Сходимость вычислительного процесса
8.2.4. Замечание о решении нелинейных уравнений второго рода
§ 8.3. Линейные уравнения второго рода вида Фредгольма. Приведение к системе уравнений для значений решения в узлах сетки
8.3.1. Общие сведения о методе и оценке погрешности
8.3 2. Оценка погрешности в частных случаях
8.3.3. Замечание об интерполяционном методе
§ 8.4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Оценка близости решений в зависимости от близости уравнений
8.4.1. Уравнения с вырожденным ядром
8.4.2. О замене произвольного ядра вырожденным
8.4.3. Оценка изменения решения в зависимости от изменения уравнения
§ 8.5. Метод моментов и связь его с заменой заданного ядра на вырожденное
8.5.1. О методе моментов
8.5.2. Связь с задачей замены ядра на вырожденное
§ 8.6. Выполнение уравнения на сетке точек
8.6.1. Об идее метода
8.6.2. Связь с задачей интерполирования
8.6.3. Связь с вопросом замены ядра на вырожденное
Литература
Глава 9. Улучшение сходимости последовательностей и рядов
§ 9.1. О содержании задачи улучшения сходимости и связи ее с проблемой определения сумм расходящихся рядов и пределов расходящихся последовательностей. Примеры
§ 9.2. Интерполяционные способы улучшения сходимости
9.2.1. Описание интерполяционного способа. Некоторые вопросы с ним связанные
9.2.2. Интерполирование при помощи многочлена от 1\n. Случай фиксированного числа значений
9.2.3. О некоторых типах сходимости
9.2.4. Об улучшении сходимости
9.2.5. Случай увеличивающегося числа значений последовательности
9.2.6. Замечание о выборе таблицы узлов интерполирования, обеспечивающей регулярность интерполяционного процесса улучшения сходимости последовательности
9.2.7. О некоторых других применениях интерполирования к улучшению сходимости
§ 9.3. Преобразование последовательности с постоянными коэффициентами, порождаемое интерполяционным правилом улучшения сходимости
9.3.1. Определение преобразования и его свойства
9.3.2. Улучшение сходимости
§ 9.4. ?2-преобразование и улучшение сходимости рядов, близких к геометрической прогрессии
9.4.1. Определение и некоторые замечания о сходимости
9.4.2. Теоремы о сохранении предела
9.4.3. Некоторые теоремы о сходимости преобразования и об увеличении ее скорости
9.4.4. ?2-преобразование и степенной ряд
§ 9.5. Улучшение сходимости рядов, близких к линейной комбинации нескольких прогрессий
9.5.1. Определение преобразования и связь преобразования с задачей интерполирования последовательности при помощи комбинации показательных функций
9.5.2. Замечание об ускорении сходимости
9.5.3. Sk-преобразование и степенной ряд мероморфной функции
9.5.4. Приближение аналитической функции рациональными функциями и связь этой задачи с Sk преобразованием
9.5.5. Улучшение сходимости последовательности, близкой к линейной комбинации нескольких показательных функций с известными основаниями
9.5.6. Замечание об одном обобщении преобразования (9.5.51)
§ 9.6. Улучшение сходимости степенного ряда при помощи замены аргумента
9.6.1. Введение
9.6.2. Некоторые частные способы замены аргумента
Литература
Глава 10. О применении функционального анализа к построению общей теории вычислительных методов
§ 10.1. Введение
§ 10.2. Некоторые общие задачи теории вычислительных методов. Упрощение уравнений
10.2.1. Содержание
10.2.2. Лемма о разрешимости уравнения
10.2.3. Разрешимость приближенного уравнения
10.2.4. Оценка погрешности и условия сходимости
Литература
Глава 11. Некорректные задачи и методы их приближенного решения
§ 11.1. Введение
11.1.1. Основные понятия
11.1.2. Дополнительные сведения по функциональному анализу
§ 11.2. Вариационные методы решения
11.2.1. Метод квазирешений
11.2.2. Метод регуляризации
11.2.3. Метод и принцип невязки
11.2.4. Связь между вариационными методами и обобщения
§ 11.3. Другие методы решения
11.3.1. Обобщенное суммирование рядов
11.3.2. Метод итераций
11.3.3. Конечноразностный метод
§ 11.4. Пример Литература
Добавление V. Регулярность линейного преобразования последовательностей
Литература
Добавление VI. Линейные уравнения и вариационные принципы их решения
§ VI.1. О связи между операторными уравнениями и функционалами
§ VI.2. Построение функционалов, соответствующих заданной граничной задаче