- Артикул:00-01106811
- Автор: Положий Г.Н.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Высшая школа (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 562
- Формат: 60 90/16
- Год: 1964
- Вес: 1669 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все товары серии)
Развернуть ▼
Репринтное издание
Книга "Уравнения математической физики" посвящена изучению дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают в различных областях физики, таких как гидродинамика, электродинамика, теория упругости и квантовая механика. Автор акцентирует внимание на физической интерпретации математических решений и предлагает логически последовательное изложение материала, отступая от традиционной структуры, чтобы более подробно рассмотреть параболические и гиперболические уравнения.
Книга предназначена для студентов и специалистов, интересующихся математическими методами в физике.
Содержание
Предисловие
Глава 1. Задачи физики и механики, приводящие к основным уравнениям математической физики
§ 1. Основные понятия
§ 2. Простейшие задачи физики и механики, приводящие к основным уравнениям математической физики
1. Распространение тепла и диффузия. Диффузия с распадом и при цепной реакции
2. Потенциальный поток несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности
3. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости
4. Уравнения газовой динамики и акустики
5. Уравнения электростатики и постоянного электрического тока
6. Уравнения магнитостатики
7. Уравнения Максвелла
8. Уравнения свободных электрических колебаний в проводах
9. Уравнение струны и уравнение мембраны
10. Уравнение продольных колебаний тонкого стержня
Глава 2. Общие вопросы теории уравнений в частных производных
§ 1. Нормальные системы уравнений. Теорема Ковалевской
§ 2. Приведение квазилинейных систем уравнений к нормальному виду, их классификация и характеристики
1. Общий случай квазилинейных систем уравнений. Примеры
2. Классификация, характеристики и приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка
3. Классификация и характеристики нелинейных систем уравнений общего вида
§ 3. Решение задачи Коши для уравнений первого порядка. Метод характеристических кривых. Примеры
Глава 3. Эллиптические уравнения. Общие свойства гармонических функций. Теория потенциала. Решение краевых задач
§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание
§ 2. Функции единичного источника и единичного диполя. Функция влияния и решение первой краевой задачи для круга и шара
1. Функции единичного источника и единичного диполя
2. Представление дважды непрерывно дифференцируемых функций в виде суммы потенциалов
3. Функция влияния и интегральные представления решений краевых задач. Примеры функций влияния для простейших областей
4. Решение первой краевой задачи теории потенциала для шара и круга
§ 3. Общие свойства гармонических функций. Применения к исследованию основных краевых задач теории потенциала
1. Оператор Лапласа и дивергенция в криволинейных ортогональных координатах. Общее определение гармонических функций трех и двух переменных
2. Необходимое условие разрешимости и единственность решения второй внутренней задачи теории потенциала
3. Теорема о среднем арифметическом и принцип максимума гармонических функций
4. Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи теории потенциала
5. Теоремы об устранимой особой точке гармонических функций
6. Гармоничность решений внешних краевых задач теории
потенциала на бесконечности и поведение гармонических функций при подходе к бесконечности
7. Первая теорема о сходимости гармонических функций
8. Оценки для положительных гармонических функций и теорема Лиувилля
9. Вторая теорема о сходимости гармонических функций
10. Свойство равностепенной непрерывности и компактность множества гармонических функций
11. Свойство аналитичности гармонических функций
12. Аналитическое продолжение гармонических функций
13. Сопряженные гармонические функции двух переменных и сведение второй краевой задачи к первой
§ 4. Теория потенциала. Метод интегральных уравнений. Решение основных краевых задач для отдельных областей
1. Свойство потенциалов в точках вне области интеграции
2. Признак равномерной сходимости интегралов и теорема о дифференцировании равномерно сходящихся интегралов
3. Теоремы о первых и вторых производных потенциала объема и логарифмического потенциала площади
4. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя и логарифмического потенциала простого слоя
5. Потенциалы двойного слоя и нормальные производные потенциалов простого слоя как функции точек областей интеграции. Поверхности и кривые Ляпунова
6. Теорема о предельных значениях потенциала двойного слоя и логарифмического потенциала двойного слоя
7. Теорема о предельных значениях нормальной производной потенциала простого слоя и логарифмического потенциала простого слоя
8. Метод интегральных уравнений решения основных краевых задач теории потенциала
9. Применения основных теорем теории потенциала к выводу формул, дающих решение краевых задач для некоторых канонических областей
10. Решение задачи Неймана для шара и внешности шара
§ 5. Уравнение Дu — k2u=0
1. Принцип положительного максимума и его следствия
2. Интегральные представления решений й теория потенциала для уравнения Дu — k2u=0 с тремя независимыми переменными
3. Интегральные представления решений и теория потенциала для уравнения Дu — k2u=0 с двумя независимыми переменными
Глава 4. Параболические уравнения. Основные краевые задачи. Общие свойства решений уравнения теплопроводности
§ 1. Постановка основных краевых задач и их физическое содержание
§ 2. Единственность решений первой, второй и третьей краевых задач
§ 3. Принцип максимума. Единственность и устойчивость решений задачи Коши, первой и обобщенной первой краевых задач
§ 4. Функции единичного мгновенного источника и единичного мгновенного диполя для уравнения теплопроводности
1. Понятие о б-функции
2. Решение задачи Коши. Функции единичного мгновенного источника и единичного мгновенного диполя
§ 5. Функция влияния. Интегральные представления решений первой, второй и третьей краевых задач. Дифференциальные свойства решений уравнения теплопроводности
§ 6. Примеры построения функций влияния для отдельных областей
1. Функции влияния первой и второй краевых задач для n-мерного полупространства
2. Функции влияния первой и второй краевых задач для n-мерного пространственного слоя
3. Функция влияния третьей краевой задачи для п-мерного полупространства
§ 7. Приведение краевых задач для уравнения теплопроводности к краевым задачам простейшего, вида. Интеграл Дюгамеля. Примеры построения явных формул для решений отдельных краевых задач
§ 8. Тепловые потенциалы. Понятие о методе интегральных уравнений
§ 9. Обобщенные тепловые потенциалы. Примеры решения краевых задач с подвижными границами
Глава 5. Гиперболические уравнения. Основные краевые задачи. Установившиеся колебания. Распространение и искажение волн
§ 1. Постановка простейших основных краевых задач и их физическое содержание
§ 2. Единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений первой, второй и третьей краевых задач
§ 3. Уравнение струны. Интеграл Даламбера. Область определенности. Физические выводы
§ 4. Функция Грина. Интегральные представления решений первой, второй и третьей краевых задач
§ 5. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волнового уравнения. Физические выводы. Инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца
§ 6. Интегральные представления решений волнового уравнения
1. Формула Остроградского для волнового оператора
2. Одномерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи и задачи о распространении звука от движущегося источника
3. Двумерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи
4. Трехмерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи
5. Формула Кирхгофа
§ 7. Волновые потенциалы. Функции излучения
1. Волновые потенциалы. Функции волновых источников и диполей
2. Функции излучения
§ 8. Решение задачи Коши для телеграфного уравнения и для n-
мерного волнового уравнения (n>3). Теорема о средних значениях
1. Решение задачи Коши для одномерного и двумерного телеграфных уравнений методом добавочной переменной
2. Решение задачи Коши для трехмерного телеграфного
уравнения и для n-мерного волнового уравнения (n>3)
3. Теорема о средних значениях
§ 9. Линейное гиперболическое уравнение общего вида с двумя независимыми переменными. Функция единичного импульса
1. Сопряженные дифференциальные операторы
2. Основная интегральная формула. Функция Римана
3. Существование и единственность решения задачи Коши, решения характеристической задачи и функции Римана
4. Построение функции Римана для телеграфного уравнения и для уравнения Эйлера-Пуассона
§ 10. Краевые задачи об установившихся колебаниях и задачи без начальных условий. Условия излучения
1. Краевые задачи об установившихся колебаниях для волнового уравнения
2. Краевые задачи об установившихся колебаниях для телеграфного уравнения и задачи без начальных условий
3. Решение задачи об установившихся колебаниях для пространства. Условия излучения
§ 11. Вопросы, связанные с уравнением характеристик. Распространение фронта волны. Распространение разрывов. Дисперсия волн
1. Уравнение распространения разрывов решений и обобщенных решений
2. Решение задачи о распространении фронта волны. Закон преломления света
3. Волны с затуханием. Волны с дисперсией и искажение волн
4. Понятие о счете по характеристикам
Глава 6. Метод разделения переменных в применении к гиперболическим, параболическим и эллиптическим уравнениям. Задача о собственных значениях и собственных функциях. Элементы теории специальных функций
§ 1. Применение метода разделения переменных к решению краевых задач, связанных с тригонометрическими функциями кратного аргумента
1. Решение первой краевой задачи для одномерного волнового уравнения
2. Решение первой краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности
3. Решение задачи Дирихле для кольца
4. Решение задачи Дирихле для прямоугольника
5. Решение задачи о колебаниях прямоугольной мембраны
§ 2. Общая теория одномерной задачи о собственных значениях и собственных функциях и ее применения к обоснованию метода разделения переменных
1. Сопряженные и самосопряженные краевые задачи
2. Простейшие свойства собственных значений и собственных функций одномерной задачи Штурма-Лиувилля
3. Функция влияния и интегральное уравнение задачи о собственных значениях и собственных функциях
4. Теорема о разложении. Полные ортонормированные системы функций и теорема о полноте
5. Асимптотические формулы для собственных значений, собственных функций и их производных
6. Теорема о коэффициентах Фурье и почленное дифференцирование разложений по собственным функциям
7. Решение краевых задач для параболического уравнения общего вида с двумя независимыми переменными
8. Решение краевых задач для гиперболического уравнения общего вида с двумя независимыми переменными
9. Приближенное определение собственных значений и собственных функций и их вариационные свойства. Понятие о методе Ритца
§ 3. Простейшие свойства цилиндрических функций и применение их к решению краевых задач
1. Определение и простейшие свойства цилиндрических функций
2. Задача о колебаниях круглой мембраны с закрепленными краями
§ 4. Простейшие свойства сферических функций и применение их к решению краевых задач
1. Полиномы Лежандра
2. Присоединенные функции
3. Сферические функции
4. Примеры задач, приводящих к сферическим и шаровым функциям
Глава 7. Методы интегральных преобразований
§ 1. Метод интеграла Фурье решения задачи Коши
§ 2. Преобразование Лапласа. Основы операционного исчисления
§ 3. Методы конечных интегральных преобразований
Рекомендуем
