Дифференциальные уравнения: Учебник

Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремились объединить строгость изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную.
Учебник прошел успешную апробацию в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Основные обозначения
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
1.1. Основные понятия и определения
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
Вопросы и задачи
2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши)
2.3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых
Вопросы и задачи
3. Дифференциальные уравнения первого порядка
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории
Вопросы и задачи
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Задача и теорема Коши
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений
4.3. Оценка разности двух решений
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка
Вопросы и задачи
5. Системы линейных дифференциальных уравнений
5.1. Определения и основные свойства решений
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского — Лиувилля
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем
5.4. Метод вариации постоянных
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней
Вопросы и задачи
6. Линейные дифференциальные уравнения высших по-рядков
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Вопросы и задачи
7. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений
Вопросы и задачи
8. Первые интегралы
8.1. Основные понятия и определения
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов
8.4. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений
Вопросы и задачи
9. Элементы теории устойчивости
9.1. Основные определения и понятия
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости
Д.9.1. Библиографический комментарий
Вопросы и задачи
10. Особые точки на фазовой плоскости
10.1. Фазовый портрет системы
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений
Д.10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций
Вопросы и задачи
11. Краевые задачи для дифференциального уравнения
11.1. Постановка краевой задачи
11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши
11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи
Вопросы и задачи
12. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов
12.2. Метод последовательных приближений
12.3. Метод ломаных Эйлера
12.4. Метод Рунге — Кутты
12.5. Метод Чаплыгина
Вопросы и задачи
13. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными
13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши
13.2. Квазилинейное дифференциальное уравнение
Вопросы и задачи
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель