Элементарная математика: Учебное пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1: Теория чисел. Алгебра

Учебное пособие предназначено для повторения и систематизации знаний школьника при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике (в классических устной и письменной формах, в форме ЕГЭ). Ориентировано на абитуриентов тех высших учебных заведений, где требуется продемонстрировать высокий уровень знаний по математике - как в теории, так и в практике решения задач.

Часть 1 книги включает в себя следующие разделы: "Теория действительных чисел", "Числовые равенства и неравенства. Формулы сокращенного умножения. Известные алгебраические неравенства", "Алгебраические уравнения и неравенства"

В книге содержатся все необходимые определения, формулировки и доказательства свойств и теорем. Особое внимание в пособии уделяется анализу разнообразных приемов и методов решения задач (Часть 1 включает более 450 задач с решениями из вариантов экзаменационных заданий МГУ имени М.В. Ломоносова, МИФИ, МФТИ, MГТУ им. Баумана, МТУСИ, ВШЭ, РЭА им. Плеханова, Финансовой академии и др. вузов), а также около 600 задач для самостоятельного решения (с ответами и указаниями). Большое внимание уделено задачам с нестандартными подходами к решению. В книгу включено много дополнительного и справочного материала, расширяющего математический кругозор учащегося.

Пособие рекомендовано старшеклассникам, учащимся подготовительных отделений и курсов для подготовки к олимпиадам (уровня МГУ имени М.В. Ломоносова) и ЕГЭ (в наиболее сложной его части), а также педагогам, преподающим курс элементарной математики.
Содержание

Предисловие

Раздел 1 ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1.1. Натуральные и целые числа

Понятия натурального и целого числа. Арифметические операции над натуральными и целыми числами и их свойства. Делимость нацело. Основные законы арифметики

Представление натурального числа в десятичной системе счисления и в системах счисления с произвольным основанием

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5,8,9, 10, 11,25

Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное алгоритмы их нахождения и свойства

Деление с остатком

Сравнимость по модулю

Некоторые приемы и методы, используемые при решении задач с целочисленными величинами: разложение целого числа в сумму по степеням основания системы счисления

Метод анализа делимости нацело, использование признаков делимости

Метод анализа остатков

Метод анализа последией цифры числа

Задачи на простые и составные числа

Задачи на НОД и НОК

Метод замены переменных

Метод оценок

Использование различных алгебраических преобразований, в том числе формул сокращенного умножения, прием выделения полных квадратов

Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины

Уравнения вида , где - целочисленные выражения, - целое число

Задачи, приводящие к ситуации, когда дробь должна принимать целочисленные значения

Другие приемы и методы

1.2. Рациональные, иррациональные и действительные числа

Понятие арифметической дроби. Классификация дробей

Рациональные числа. Правила перевода рационального числа из обыкновенной дроби в периодическую и обратно

Сравнение рациональных чисел. Арифметические операции над рациональными числами

Решение уравнений в рациональных числах

Иррациональные и действительные числа

Сравнение действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства

Алгебраические н трансцендентные числа

Целая, дробная части действительного числа и их свойства

1.3. Степень действительного числа

Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства

Арифметические и алгебраические корни n-й степени

Степени с рациональными показателями

Степени с иррациональными показателями

Раздел 2 ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. ИЗВЕСТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

2.1. Числовые равенства и неравенства

Числовые равенства и их свойства

Пропорции, их свойства

Пропорциональные отрезки. "Золотое сечение"

Числовые неравенства н их свойства

2.2. Формулы сокращенного умножении

Основные и некоторые дополнительные формулы сокращенного умножения

Понятие n-факториала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

2.3. Некоторые известные алгебраические неравенства

Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел

Наиболее известные средние величины и соотношения между ними

Неравенство Коши

Неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим

Неравенства Бернули

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Раздел 3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

3.1. Уравнении, тождества, неравенства: определении и классификации

3.2. Равносильность и следствие

Определение равносильности и следствия

Примеры равносильных преобразований

Примеры неравносильных преобразований

3.3. Алгебраические уравнении и неравенства

3.3.1. Целые рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Квадратные неравенства

Расположение корней квадратного трехчлена относительно одной-двух заданных точек ("Метод парабол")

Алгебраические уравнения и неравенства степени выше второй

Теоремы о свойствах алгебраических многочленов: о разложении многочлена произвольной степени на произведение линейных и квадратичных множителей

О наличии у многочлена нечетной степени хотя бы оадно действительного корня

Основная теорема алгебры

Об обращении в нуль многочлена принимающего на концах отрезка значения разных знаков

О тождественном равенстве двух многочленов

О тождественном равенстве многочленов степени не выше , если их значения совпадают в различных точках

О делении многочлена на многочлен с остатком

Теорема Безу

О рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами

Теорема Виета в общем случае

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

Метод поиска рациональных корней у многочленом с целыми коэффициентами

Метод неопределенных коэффициентов

Метод умножения на функцию

Двучленные, трёхчленные и биквадратные уравнения

Однородные уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Возвратные уравнения

Уравнения вида

Уравнения вида

Уравнения вида

Тригонометрические подcтaновки

Частичная замена переменной и сведение к системе

Графический подход

3.3.2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Общий метод решения дробных неравенств

Метод интервалов для решения неравенств

Метод замены множителей на множители равных знаков

Рациональные неравенства, решаемые на отдельных промежутках

3.3.3. Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства

Метод возведения в степень

Стандартные задачи и схемы их решения:

Метод домножения на сопряженное выражение

Замена переменных: рационализирующие подстановки

Решение задачи на отдельных промежутках ОДЗ

3.3.4. Задачи с модулем

Понятие модуля действительного числа, его график и свойства

Методы решения задач с модулями

Специальные методы. Раскрытие модулей по определению

Метод интервалов

Метод областей - обобщение метода интервалов

Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл

Раскрытие модулей на ОДЗ

Умножение на сопряженное выражение

Замена в неравенствах множителей вида , множителями эквивалентоного знака ,

Задачи, содержащие "скрытый" модуль

Использование свойств модуля

Специальные схемы решения типовых задач

Универсальные методы. Возведение в степень

Метод замены тсестнвзиен

Разложение на миожители

Графический подход (метод координат)

Метод оценок

Метод "ОТ частиого к умуещбо

Универсальные методы

Возведение в степень

Методы замены неизвестных

Разложение на множители

Графический подход (метод координат)

Метод оценок

Метод "от частного к общему"

3.3.5. Задачи, использующие понятия наименьшего н наибольшего нз двух или нескольких чисел

3.4. Универсальные приёмы и методы решения уравнений и неравенств

Разложение на множители

Метод замены переменных

Метод неопределенных коэффициентов

Метод "от частного к общему"

Графический подход (метод координат)

Умножение на функцию

Уравнения вида где и другие задачи этого типа. Метод оценок

Уравнения н неравенства вида где и имеют разную монотонность

Уравнения и неравенства вида где - строго монотонная функция. Применение к уравнению (неравенству) монотонной функции

Уравнения и неравенства вида , , где ,

Уравнения вида , где , - взаимно обратные возрастающие функции

Геометрический подход

Функциональные уравнения

Вспомогательные приемы и средства: формулы сокращенного умножения

Выделение полного квадрата (куба)

Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины

Раздел 4 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

К разделу 1

К разделу 2

К разделу 3

Ответы и решения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список условных обозначений

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Основные методы элементарной математики

Предметный указатель

Литература