+7(800)707-21-74
Бесплатно по России

Элементарная математика: Учебное пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1: Теория чисел. Алгебра

  • Артикул:00812366
  • Автор: Хорошилова Е. В.
  • ISBN: 978-5-211-05322-9
  • Обложка: Мягкая обложка
  • Издательство: МГУ (все книги издательства)
  • Город: Москва
  • Страниц: 472
  • Год: 2010
Развернуть ▼

Учебное пособие предназначено для повторения и систематизации знаний школьника при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике (в классических устной и письменной формах, в форме ЕГЭ). Ориентировано на абитуриентов тех высших учебных заведений, где требуется продемонстрировать высокий уровень знаний по математике - как в теории, так и в практике решения задач.

Часть 1 книги включает в себя следующие разделы: "Теория действительных чисел", "Числовые равенства и неравенства. Формулы сокращенного умножения. Известные алгебраические неравенства", "Алгебраические уравнения и неравенства"

В книге содержатся все необходимые определения, формулировки и доказательства свойств и теорем. Особое внимание в пособии уделяется анализу разнообразных приемов и методов решения задач (Часть 1 включает более 450 задач с решениями из вариантов экзаменационных заданий МГУ имени М.В. Ломоносова, МИФИ, МФТИ, MГТУ им. Баумана, МТУСИ, ВШЭ, РЭА им. Плеханова, Финансовой академии и др. вузов), а также около 600 задач для самостоятельного решения (с ответами и указаниями). Большое внимание уделено задачам с нестандартными подходами к решению. В книгу включено много дополнительного и справочного материала, расширяющего математический кругозор учащегося.

Пособие рекомендовано старшеклассникам, учащимся подготовительных отделений и курсов для подготовки к олимпиадам (уровня МГУ имени М.В. Ломоносова) и ЕГЭ (в наиболее сложной его части), а также педагогам, преподающим курс элементарной математики.
Содержание

Предисловие

Раздел 1 ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1.1. Натуральные и целые числа

Понятия натурального и целого числа. Арифметические операции над натуральными и целыми числами и их свойства. Делимость нацело. Основные законы арифметики

Представление натурального числа в десятичной системе счисления и в системах счисления с произвольным основанием

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5,8,9, 10, 11,25

Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное алгоритмы их нахождения и свойства

Деление с остатком

Сравнимость по модулю

Некоторые приемы и методы, используемые при решении задач с целочисленными величинами: разложение целого числа в сумму по степеням основания системы счисления

Метод анализа делимости нацело, использование признаков делимости

Метод анализа остатков

Метод анализа последией цифры числа

Задачи на простые и составные числа

Задачи на НОД и НОК

Метод замены переменных

Метод оценок

Использование различных алгебраических преобразований, в том числе формул сокращенного умножения, прием выделения полных квадратов

Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины

Уравнения вида , где - целочисленные выражения, - целое число

Задачи, приводящие к ситуации, когда дробь должна принимать целочисленные значения

Другие приемы и методы

1.2. Рациональные, иррациональные и действительные числа

Понятие арифметической дроби. Классификация дробей

Рациональные числа. Правила перевода рационального числа из обыкновенной дроби в периодическую и обратно

Сравнение рациональных чисел. Арифметические операции над рациональными числами

Решение уравнений в рациональных числах

Иррациональные и действительные числа

Сравнение действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства

Алгебраические н трансцендентные числа

Целая, дробная части действительного числа и их свойства

1.3. Степень действительного числа

Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства

Арифметические и алгебраические корни n-й степени

Степени с рациональными показателями

Степени с иррациональными показателями

Раздел 2 ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. ИЗВЕСТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

2.1. Числовые равенства и неравенства

Числовые равенства и их свойства

Пропорции, их свойства

Пропорциональные отрезки. "Золотое сечение"

Числовые неравенства н их свойства

2.2. Формулы сокращенного умножении

Основные и некоторые дополнительные формулы сокращенного умножения

Понятие n-факториала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

2.3. Некоторые известные алгебраические неравенства

Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел

Наиболее известные средние величины и соотношения между ними

Неравенство Коши

Неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим

Неравенства Бернули

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Раздел 3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

3.1. Уравнении, тождества, неравенства: определении и классификации

3.2. Равносильность и следствие

Определение равносильности и следствия

Примеры равносильных преобразований

Примеры неравносильных преобразований

3.3. Алгебраические уравнении и неравенства

3.3.1. Целые рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Квадратные неравенства

Расположение корней квадратного трехчлена относительно одной-двух заданных точек ("Метод парабол")

Алгебраические уравнения и неравенства степени выше второй

Теоремы о свойствах алгебраических многочленов: о разложении многочлена произвольной степени на произведение линейных и квадратичных множителей

О наличии у многочлена нечетной степени хотя бы оадно действительного корня

Основная теорема алгебры

Об обращении в нуль многочлена принимающего на концах отрезка значения разных знаков

О тождественном равенстве двух многочленов

О тождественном равенстве многочленов степени не выше , если их значения совпадают в различных точках

О делении многочлена на многочлен с остатком

Теорема Безу

О рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами

Теорема Виета в общем случае

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

Метод поиска рациональных корней у многочленом с целыми коэффициентами

Метод неопределенных коэффициентов

Метод умножения на функцию

Двучленные, трёхчленные и биквадратные уравнения

Однородные уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Возвратные уравнения

Уравнения вида

Уравнения вида

Уравнения вида

Тригонометрические подcтaновки

Частичная замена переменной и сведение к системе

Графический подход

3.3.2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Общий метод решения дробных неравенств

Метод интервалов для решения неравенств

Метод замены множителей на множители равных знаков

Рациональные неравенства, решаемые на отдельных промежутках

3.3.3. Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства

Метод возведения в степень

Стандартные задачи и схемы их решения:

Метод домножения на сопряженное выражение

Замена переменных: рационализирующие подстановки

Решение задачи на отдельных промежутках ОДЗ

3.3.4. Задачи с модулем

Понятие модуля действительного числа, его график и свойства

Методы решения задач с модулями

Специальные методы. Раскрытие модулей по определению

Метод интервалов

Метод областей - обобщение метода интервалов

Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл

Раскрытие модулей на ОДЗ

Умножение на сопряженное выражение

Замена в неравенствах множителей вида , множителями эквивалентоного знака ,

Задачи, содержащие "скрытый" модуль

Использование свойств модуля

Специальные схемы решения типовых задач

Универсальные методы. Возведение в степень

Метод замены тсестнвзиен

Разложение на миожители

Графический подход (метод координат)

Метод оценок

Метод "ОТ частиого к умуещбо

Универсальные методы

Возведение в степень

Методы замены неизвестных

Разложение на множители

Графический подход (метод координат)

Метод оценок

Метод "от частного к общему"

3.3.5. Задачи, использующие понятия наименьшего н наибольшего нз двух или нескольких чисел

3.4. Универсальные приёмы и методы решения уравнений и неравенств

Разложение на множители

Метод замены переменных

Метод неопределенных коэффициентов

Метод "от частного к общему"

Графический подход (метод координат)

Умножение на функцию

Уравнения вида где и другие задачи этого типа. Метод оценок

Уравнения н неравенства вида где и имеют разную монотонность

Уравнения и неравенства вида где - строго монотонная функция. Применение к уравнению (неравенству) монотонной функции

Уравнения и неравенства вида , , где ,

Уравнения вида , где , - взаимно обратные возрастающие функции

Геометрический подход

Функциональные уравнения

Вспомогательные приемы и средства: формулы сокращенного умножения

Выделение полного квадрата (куба)

Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины

Раздел 4 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

К разделу 1

К разделу 2

К разделу 3

Ответы и решения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список условных обозначений

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Основные методы элементарной математики

Предметный указатель

Литература

Оставьте отзыв о товаре
×

Журналы и бланки

БухгалтерияОхрана труда и техника безопасностиМЧСКадровая работа: Журналы, бланки, формыЖурналы, бланки, формы документов для органов прокуратуры и суда, минюста, пенитенциарной системыЖурналы, бланки, формы документов МВД РФКонструкторская, научно-техническая документацияЛесное хозяйствоПромышленностьГостиницы, общежития, хостелыСвязьЖурналы и бланки по экологииЖурналы и бланки, используемые в торговле, бытовом обслуживанииЖурналы по санитарии, проверкам СЭСЛифтыКомплекты журналовНефтебазыБассейныГазовое хозяйство, газораспределительные системы, ГАЗПРОМЖКХЭксплуатация зданий и сооруженийЖурналы и бланки для нотариусов, юристов, адвокатовЖурналы и бланки для организаций пищевого производства, общепита и пищевых блоковЖурналы и бланки для организаций, занимающихся охраной объектов и частных лицЖурналы и бланки для ФТС РФ (таможни)Журналы для образовательных учрежденийЖурналы и бланки для армии, вооруженных силБанкиГеодезия, геологияГрузоподъемные механизмыДокументы, относящиеся к нескольким отраслямНефтепромысел, нефтепроводыДелопроизводствоЖурналы для медицинских учрежденийАЗС и АЗГСЭлектроустановкиТепловые энергоустановки, котельныеЭнергетикаШахты, рудники, метрополитены, подземные сооруженияТуризмДрагметаллыУчреждения культуры, библиотеки, музеиПсихологияПроверки и контроль госорганами, контролирующими организациямиРаботы с повышенной опасностьюПожарная безопасностьОбложки для журналов и удостоверенийАптекиТранспортРегулирование алкогольного рынкаАвтодороги, дорожное хозяйствоСамокопирующиеся бланкиСельское хозяйство, ветеринарияСкладСнегоплавильные пунктыСтройка, строительствоМетрологияКанатные дороги, фуникулерыКладбищаАрхивыАттракционыЖурналы для парикмахерских, салонов красоты, маникюрных, педикюрных кабинетов

Охрана труда

Удостоверения, Свидетельства

Зачетные книжки, студенческие билетыУдостоверения рабочих различных строительных специальностей

Членские книжки

ГК, ГСК, членские книжки, пропуска и пр.Садоводческие книжки, членские книжки СНТ

Печати и штампы

Оснастки, самонаборные штампыШтампы по техническому контролю, учету и хранениюПечать фирмы (организации, компании, подразделения, отдела)Печати и штампы для бухгалтерии и делопроизводстваПечати и штампы для водителейМедицинские печати и штампы

Книги

Нормативные правовые актыОбщественные и гуманитарные наукиРелигия. Оккультизм. ЭзотерикаОхрана труда, обеспечение безопасностиСанПины, СП, МУ, МР, ГНПодарочные книгиПутешествия. Отдых. Хобби. СпортНаука. Техника. МедицинаКосмосРостехнадзорДругоеИскусство. Культура. ФилологияКниги издательства "Комсомольская правда"Книги в электронном видеКомпьютеры и интернетБукинистическая литератураСНиП, СП, СО,СТО, РД, НП, ПБ, МДК, МДС, ВСНГОСТы, ОСТыЭнциклопедии, справочники, словариДомашний кругДетская литератураУчебный годСборники рецептур блюд для предприятий общественного питанияЭкономическая литератураХудожественная литература

Знаки безопасности, таблички, стенды

Вспомогательные знаки, таблички-наклейкиЗапрещающие знакиЗнаки для инвалидовЗнаки пожарной безопасностиЗнаки электробезопасностиИнформационные знаки для строительных площадокМедицинские и санитарные знакиПредписывающие знакиПредупреждающие знакиСтендыЗнаки для уборки и сбора мусораУказательные знакиЭвакуационные знакиЮмористические знакиЗнаки на автомобильНаклейки

Диски

Плакаты

Металлические изделия (металлическая мебель, конструкции, навесы)

Металлическая мебельМеталлические изделия для дачи и дома

Подарки нашим покупателям

Портреты знаменитых людей

Сувениры

Кружки для термопереносаБрелокиГудки и Рожки охотничьиСувениры, подарки для мужчинПредметы интерьераЗажигалкиПодарочные наборы игрБизнес сувениры, корпоративные подаркиГимн России. Эксклюзивное графическое оформление в багетном обрамлении

Товары для дома и офиса

Каски, защитные очки, маскиПланы эвакуацииСамоспасателиИндикаторы стерилизацииГрамоты и благодарностиСредства дезинфекцииФитолампы и прожекторыОгнетушителиКанцелярские товарыКухонные принадлежностиХозяйственные товарыЭлектроудлинители, тройники, катушкиКартонные коробкиЭлектроустановочные изделия

Товары для развития, игрушки

Бумажные модели

Юнармия

Погоны министерств и ведомств

Товары для здоровья, БАДы

Аюрведические товарыСредства гигиены, косметика из минералов Мертвого моря
;