- Артикул:00812366
- Автор: Хорошилова Е. В.
- ISBN: 978-5-211-05322-9
- Обложка: Мягкая обложка
- Издательство: МГУ (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 472
- Год: 2010
Развернуть ▼
Учебное пособие предназначено для повторения и систематизации знаний школьника при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике (в классических устной и письменной формах, в форме ЕГЭ). Ориентировано на абитуриентов тех высших учебных заведений, где требуется продемонстрировать высокий уровень знаний по математике - как в теории, так и в практике решения задач.
Часть 1 книги включает в себя следующие разделы: "Теория действительных чисел", "Числовые равенства и неравенства. Формулы сокращенного умножения. Известные алгебраические неравенства", "Алгебраические уравнения и неравенства"
В книге содержатся все необходимые определения, формулировки и доказательства свойств и теорем. Особое внимание в пособии уделяется анализу разнообразных приемов и методов решения задач (Часть 1 включает более 450 задач с решениями из вариантов экзаменационных заданий МГУ имени М.В. Ломоносова, МИФИ, МФТИ, MГТУ им. Баумана, МТУСИ, ВШЭ, РЭА им. Плеханова, Финансовой академии и др. вузов), а также около 600 задач для самостоятельного решения (с ответами и указаниями). Большое внимание уделено задачам с нестандартными подходами к решению. В книгу включено много дополнительного и справочного материала, расширяющего математический кругозор учащегося.
Пособие рекомендовано старшеклассникам, учащимся подготовительных отделений и курсов для подготовки к олимпиадам (уровня МГУ имени М.В. Ломоносова) и ЕГЭ (в наиболее сложной его части), а также педагогам, преподающим курс элементарной математики.
Содержание
Предисловие
Раздел 1 ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1.1. Натуральные и целые числа
Понятия натурального и целого числа. Арифметические операции над натуральными и целыми числами и их свойства. Делимость нацело. Основные законы арифметики
Представление натурального числа в десятичной системе счисления и в системах счисления с произвольным основанием
Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5,8,9, 10, 11,25
Простые и составные числа. Основная теорема арифметики
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное алгоритмы их нахождения и свойства
Деление с остатком
Сравнимость по модулю
Некоторые приемы и методы, используемые при решении задач с целочисленными величинами: разложение целого числа в сумму по степеням основания системы счисления
Метод анализа делимости нацело, использование признаков делимости
Метод анализа остатков
Метод анализа последией цифры числа
Задачи на простые и составные числа
Задачи на НОД и НОК
Метод замены переменных
Метод оценок
Использование различных алгебраических преобразований, в том числе формул сокращенного умножения, прием выделения полных квадратов
Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины
Уравнения вида , где - целочисленные выражения, - целое число
Задачи, приводящие к ситуации, когда дробь должна принимать целочисленные значения
Другие приемы и методы
1.2. Рациональные, иррациональные и действительные числа
Понятие арифметической дроби. Классификация дробей
Рациональные числа. Правила перевода рационального числа из обыкновенной дроби в периодическую и обратно
Сравнение рациональных чисел. Арифметические операции над рациональными числами
Решение уравнений в рациональных числах
Иррациональные и действительные числа
Сравнение действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства
Алгебраические н трансцендентные числа
Целая, дробная части действительного числа и их свойства
1.3. Степень действительного числа
Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства
Арифметические и алгебраические корни n-й степени
Степени с рациональными показателями
Степени с иррациональными показателями
Раздел 2 ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. ИЗВЕСТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
2.1. Числовые равенства и неравенства
Числовые равенства и их свойства
Пропорции, их свойства
Пропорциональные отрезки. "Золотое сечение"
Числовые неравенства н их свойства
2.2. Формулы сокращенного умножении
Основные и некоторые дополнительные формулы сокращенного умножения
Понятие n-факториала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля
2.3. Некоторые известные алгебраические неравенства
Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел
Наиболее известные средние величины и соотношения между ними
Неравенство Коши
Неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим
Неравенства Бернули
Неравенство Коши-Буняковского
Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным
Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств
Раздел 3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
3.1. Уравнении, тождества, неравенства: определении и классификации
3.2. Равносильность и следствие
Определение равносильности и следствия
Примеры равносильных преобразований
Примеры неравносильных преобразований
3.3. Алгебраические уравнении и неравенства
3.3.1. Целые рациональные алгебраические уравнения и неравенства
Линейные уравнения и неравенства
Квадратные уравнения и неравенства
Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Квадратные неравенства
Расположение корней квадратного трехчлена относительно одной-двух заданных точек ("Метод парабол")
Алгебраические уравнения и неравенства степени выше второй
Теоремы о свойствах алгебраических многочленов: о разложении многочлена произвольной степени на произведение линейных и квадратичных множителей
О наличии у многочлена нечетной степени хотя бы оадно действительного корня
Основная теорема алгебры
Об обращении в нуль многочлена принимающего на концах отрезка значения разных знаков
О тождественном равенстве двух многочленов
О тождественном равенстве многочленов степени не выше , если их значения совпадают в различных точках
О делении многочлена на многочлен с остатком
Теорема Безу
О рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами
Теорема Виета в общем случае
Методы решения целых алгебраических уравнений
Разложение на множители
Подбор корня с последующим понижением степени уравнения
Метод поиска рациональных корней у многочленом с целыми коэффициентами
Метод неопределенных коэффициентов
Метод умножения на функцию
Двучленные, трёхчленные и биквадратные уравнения
Однородные уравнения
Симметрические и кососимметрические уравнения
Возвратные уравнения
Уравнения вида
Уравнения вида
Уравнения вида
Тригонометрические подcтaновки
Частичная замена переменной и сведение к системе
Графический подход
3.3.2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
Общий метод решения дробных неравенств
Метод интервалов для решения неравенств
Метод замены множителей на множители равных знаков
Рациональные неравенства, решаемые на отдельных промежутках
3.3.3. Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства
Метод возведения в степень
Стандартные задачи и схемы их решения:
Метод домножения на сопряженное выражение
Замена переменных: рационализирующие подстановки
Решение задачи на отдельных промежутках ОДЗ
3.3.4. Задачи с модулем
Понятие модуля действительного числа, его график и свойства
Методы решения задач с модулями
Специальные методы. Раскрытие модулей по определению
Метод интервалов
Метод областей - обобщение метода интервалов
Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл
Раскрытие модулей на ОДЗ
Умножение на сопряженное выражение
Замена в неравенствах множителей вида , множителями эквивалентоного знака ,
Задачи, содержащие "скрытый" модуль
Использование свойств модуля
Специальные схемы решения типовых задач
Универсальные методы. Возведение в степень
Метод замены тсестнвзиен
Разложение на миожители
Графический подход (метод координат)
Метод оценок
Метод "ОТ частиого к умуещбо
Универсальные методы
Возведение в степень
Методы замены неизвестных
Разложение на множители
Графический подход (метод координат)
Метод оценок
Метод "от частного к общему"
3.3.5. Задачи, использующие понятия наименьшего н наибольшего нз двух или нескольких чисел
3.4. Универсальные приёмы и методы решения уравнений и неравенств
Разложение на множители
Метод замены переменных
Метод неопределенных коэффициентов
Метод "от частного к общему"
Графический подход (метод координат)
Умножение на функцию
Уравнения вида где и другие задачи этого типа. Метод оценок
Уравнения н неравенства вида где и имеют разную монотонность
Уравнения и неравенства вида где - строго монотонная функция. Применение к уравнению (неравенству) монотонной функции
Уравнения и неравенства вида , , где ,
Уравнения вида , где , - взаимно обратные возрастающие функции
Геометрический подход
Функциональные уравнения
Вспомогательные приемы и средства: формулы сокращенного умножения
Выделение полного квадрата (куба)
Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины
Раздел 4 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
К разделу 1
К разделу 2
К разделу 3
Ответы и решения
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список условных обозначений
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Основные методы элементарной математики
Предметный указатель
Литература
Рекомендуем
