Математика. В 4-х книгах. Выпуск 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

Книга представляет собой учебное пособие по обыкновенным дифференциальным уравнениям, рассчитанное па студентов политехнических университетов. Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой, включая элементы теории устойчивости. Рассмотрены линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.

Большое внимание уделено методам решения типовых задач, а также подбору и решению задач, разъясняющих теоретические факты и их практическое применение.

Приведены подробные решения более 250 задач.
Содержание

Введение

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка, (решенные относительно производной
§1. Основные понятия и определения
§2. Существование решения задачи Коши
§3. Единственность решения задачи Коши
§4. Общее, частное и особое решения уравнения у' = f(x,y)
§5. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной форме
§6. Общий интеграл уравнения в симметричной форме
§7. Уравнение в полных дифференциалах
§8. Интегрирующий множитель
§9. Уравнения с разделяющимися переменными
§10. Линейные уравнения первого порядка
§11. Уравнение Бернулли
§12. Однородные уравнения
§13. Простейшие уравнения, приводящиеся к однородному

Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, не (решенные относительно производной
§1. Основные понятия и определения
§2. Метод введения параметра
§3. Примеры и задачи к главе 2
§4. Огибающая и дискримииантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых
§5. Особое решение обыкновенного дифференциального уравнения как огибающая семейства интегральных кривых

Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
§1. Основные понятия и определения
§2. Некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
§3. Примеры и задачи к §2
§4. Линейные дифференциальные уравнения я-го порядка
§5. Линейные однородные уравнения
§6. Теорема о составлении общего решения линейного однородного уравнения л-го порядка
§7. Линейные неоднородные уравнения л-го порядка
§8. О комплексных решениях линейного однородного уравнения
§9. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§10. Построение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
§11. Уравнение Эйлера
§12. Примеры и задачи по теме: "Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка"

Глава 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§1. Непосредственное применение ряда Тейлора
§2. Метод неопределенных коэффициентов
§3. Уравнение Бесселя. Его интегрирование с помощью обобщенного степенного ряда

Глава 5. Нормальные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
§1. Основные понятия и определения
§2. Некоторые сведения из теории вектор-функций
§3. Существование и единственность решения задачи Коши нормальной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
§4. Общее решение и общий интеграл нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§5. Методы интегрирования нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
§6. Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка
§7. Продолжение решений. Нелокальные свойства решений

Глава 6. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§1. Некоторые сведения из теории матриц
§2. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейшие свойства решений линейных однородных систем
§3. Линейная зависимость и линейная независимость вектор-функций. Признаки линейной независимости решений линейной однородной системы
§4. Теорема о составлении общего решения линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§5. Формула Остроградского - Лиувилля
§6. Теорема о составлении общего решения линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§7. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения Y.(х) =х?(х) линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§8. Матричные последовательности и ряды
§9. Матричные степенные ряды
§10. Экспонента от матрицы
§11. Матрица-функция е4
§12. Умножение матричных рядов
§13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
§14. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
§15. Примеры и задачи к главе 6

Глава 7. Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
§1. Логарифмы матриц
§2. Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами
§3. Мультипликаторы
§4. Структура фундаментальной матрицы решений линейной однородной системы
с периодическими коэффициентами
§5. Приведение линейной однородной системы с периодическими коэффициентами к линейной однородной системе с постоянными коэффициентами

Глава 8. Понятие устойчивости решения системы ешмкиовенных дифференциальных уравнений
§1. Постановка задачи об устойчивости. Определения
§2. Устойчивость линейных систем
§3. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами
§4. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами
§5. Нелинейные"?истемы. Устойчивость по первому приближению
§6. Примеры и задачи к главе 8

Литература