Математика. В 4-х книгах. Выпуск 4. Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие. Часть 2.

Книга представляет собой учебное пособие по теории функций комплексной переменной, рассчитанное на студентов политехнических университетов. Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой.

Приведены подробные решения около 400 задач, разъясняющих основные идеи, теоретические факты и их практическое применение.
Содержание

Глава 1. Комплексные числа
1. Определение комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
2. Равенство комплексных чисел
3. Сложение и вычитание
4. Умножение
5. Комплексно сопряженное число
6. Деление
7. Извлечение корня
8. Стереографическая проекция
Примеры к главе 1

Глава 2. Функции комплексной переменной и их дифференцирование
1. Комплексная переменная
2. Предел последовательности комплексных чисел
3. Основные геометрические понятия
4. Функция комплексной переменной, ее предел и непрерывность
5. Производная функции комплексной переменной
6. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции f[z)
7. Понятие регулярности (аналитичности) функции в области
8. Геометрический смысл производной

Глава 3. Элементарные регулярные функции и соответствующие
им конформные отображения
1. Дробно-линейная функция
2. Показательная функция w- еz
3. Логарифмическая функция
4. Степенная функция
5. Функция Жуковского
6. Тригонометрические и гиперболические функции
7. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Глава 4. Примеры и задачи на конформные отображения, связанные
с элементарными функциями
1. Отображения посредством дробно-линейных функций
2. Отображения простейших двусвязных областей
3. Отображения круговых луночек и областей с разрезами
4. Отображения посредством функции Жуковского
5. Отображения посредством основных трансцендентных функций

Глава 5. Интеграл от функции комплексной переменной
§1. Определение интеграла от функции комплексной переменной
по кривой. Существование и вычисление этого интеграла
§2. Интегральная теорема Коши
§3. Первообразная функция и основная формула интегрального
исчисления
§4. Интегральная теорема Коши для многосвязных областей
§5. Интегральная формула Коши
§6. Интеграл типа Коши
§7. Обращение интегральной теоремы Коши
§8. Формула Пуассона и теорема о среднем значении
§9. Формула Пуассона для неограниченной области
§10. Принцип максимума модуля
§11. Гармонические функции и их связь с регулярными
§12. Формула Пуассона для гармонической функции
§13. Принцип максимума и минимума для гармонических функций
§14. Примеры на нахождение регулярной функции по известной
вещественной или мнимой её частям

Глава 6. Теория рядов
§1. Ряды с комплексными членами
§1а. Примеры (исследование на сходимость числовых рядов с комплексными членами)
§2. Функциональные ряды
§3. Теорема о равномерно сходящихся рядах регулярных функций
§4. Степенные ряды
§5. Приемы разложения функций в степенные ряды
§6. Разложение элементарных функций в степенные ряды
§7. Теорема Коши-Адамара
§8. Ряд Лорана
§9. Нули и изолированные особые точки
1. Определение нуля функции J[z)
2. Определение изолированной особой точки однозначного характера
3. Теорема Сохоцкого
4. Бесконечно удаленная точка плоскости
§10. Примеры на разложение функций в ряд Тейлора
§11. Примеры на разложение функций в ряд Лорана
§12. Примеры на исследование изолированных особых точек однозначного характера

Глава 7. Теория вычетов и ее приложения
§1. Основная теорема о вычетах
§2. Вычисление вычета в случае полюса
§3. Вычисление определенных интегралов посредством теории вычетов
§4. Теорема о вычетах для неограниченной области
§5. Задачи на вычисление интегралов
§6. Логарифмический вычет
§7. Теорема Коши о числе корней и полюсов функции
§8. Теорема Римана (достаточные условия взаимно-однозначного отображения)
§9. Обращение степенного ряда

Глава 8. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности.
особые точки
§ I. Теорема единственности
§ II Аналитическое продолжение
I. Непосредственное аналитическое продолжение
II. Аналитическое продолжение посредством цепи областей
III. Аналитическое продолжение вдоль кривой
IV. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов
§3. Особые точки полной аналитической функции
§4 Аналитическое продолжение в соприкасающуюся область
§5. Принцип симметрии
Обобщенный принцип симметрии

V Задачи на конформные отображения с применением принципа
симметрии
§8. Римановы поверхности элементарных многозначных функций
§9.Теорема о сохранении области при аналитическом отображении
§10, Геометрический смысл обращения степенного ряда
§11. Основная задача конформного отображения
§12. Конформное отображение на многоугольную область