Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие

В основу настоящего пособия положены лекции, читаемые автором на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. Курс «Математические основы криптологии» входит как обязательный в учебные планы магистратуры факультета ВМК по программе «Математическое и программное обеспечение защиты информации», а также в учебные планы студентов третьего курса, обучающихся по аналогичной специализации. Этот курс является базовым для других обязательных дисциплин и спецкурсов. Материал, излагаемый в настоящем курсе, разбросан по различным монографиям, статьям и учебникам, что затрудняет его изучение. Предлагаемое пособие призвано помочь студентам в изучении данного курса.
В пособии рассматриваются такие основные алгебраические структуры, как конечные поля, группы подстановок, а также их теоретико-числовая реализация; в частности, изучаются группы точек эллиптических кривых над конечным полем.
Оглавление
Предисловие
1 Введение. Математическая модель шифров
1.1 Примеры шифров
2 Основы теории конечных групп
2.1 Элементарные свойства групп подстановок
2.2 Смежные классы
2.3 Циклические группы
2.4 Прямое произведение конечных групп
3 Введение в элементарную теорию чисел
3.1 Делимость и ее свойства
3.2 Сравнения и их свойства
3.3 Кольца, поля
3.4 Функции Эйлера и Мебиуса
4 Квадратичные вычеты
4.1 Определение и свойства
4.2 Символ Лежандра
4.3 Символ Якоби
4.4 Алгоритмы решения квадратичного сравнения по простому модулю
4.5 Алгоритмы решения сравнения второй степени по примарному модулю
4.6 Решения сравнений по модулю 2П
5 Порождение больших простых чисел
5.1 Алгоритмы порождения простых чисел
6 Вероятностные тесты на простоту
6.1 Обоснование тестов
6.2 Тест Соловея—Штрассена
6.3 Тест Миллера—Рабина
7 Конечные поля
7.1 Общие определения
7.2 Построение конечных полей
7.3 Минимальные многочлены и их свойства
7.4 Группа автоморфизмов конечных полей
8 Детерминированные алгоритмы дискретного логарифмирования
8.1 Алгоритм согласования
8.2 Алгоритм Полига—Хеллмана
8.3 р-алгоритм Полларда
8.4 Алгоритм вычисления индексов
8.4.1 Алгоритм вычисления индексов в Z*
8.4.2 Алгоритм вычисления индексов в F^m
9 Рекуррентные последовательности над конечными полями
10 Автономные автоматы
10.1 Определения. Регистры сдвига
10.2 Критерии регулярности автономных автоматов
11 Линейный конгруэнтный метод
12 Строение конечных групп
12.1 Конечные абелевы группы
12.2 Сопряжённые классы и элементы. Теорема Коши
12.3 Двойные классы смежности. Теоремы Силова
13 Конечные группы подстановок
13.1 Орбиты, стабилизаторы и их свойства. Лемма Бернсайда
13.2 Регулярные и полурегулярные группы
13.3 Блоки и импримитивные группы
13.4 Примитивные группы. Кратная транзитивность
13.5 Группы подстановок с регулярным нормальным делителем
13.6 Базисы симметрической и знакопеременной групп
14 Эллиптические кривые
14.1 Общие понятия и канонические уравнения
14.2 Дискриминант эллиптической кривой над полем характеристики р > 3
14.3 Группа точек эллиптической кривой над полем характеристики р > 3
14.4 Порядок группы ?р(а, b) с нулевым дискриминантом
14.5 Элементарные верхние и нижние оценки порядка группы ?р(а, b)
14.6 Элементарное доказательство теоремы Хассе
14.7 Эллиптические кривые над полем характеристики 3
14.8 Эллиптические кривые над полем характеристики 2
14.8.1 Группа точек суперсингулярной кривой
14.8.2 Суперсингулярные кривые над полем нечетной степени
14.8.3 Группа точек несуперсингулярной кривой
14.8.4 Аномальные несуперсингулярные эллиптические кривые
Литература