Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Часть 2. Специальные разделы математического анализа: учебное пособие (3-е издание, исправленное)

Содержит задачи по интегральному исчислению функций нескольких переменных, дифференциальным уравнениям, векторному анализу, основам теории функций комплексной переменной, рядам и их применениям, включая ряды Фурье, и операционному исчислению. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных приме¬ров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
Для студентов высших технических учебных заведений.







ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию
Из предисловия ко второму изданию
Из предисловия к первому изданию
Глава 8. Краткие интегралы
1. Двойной интеграл
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах (9)
2. Замена переменных в двойном интеграле (14)
2. Тройной интеграл
3. Приложения двойных интегралов (18)
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах (24)
2. Замена переменных в тройном интеграле (25)
3. Приложения тройных интегралов (28)
3. Несобственные кратные интегралы
1. Интеграл по бесконечной области (31).
2. Интеграл от разрывной функции (32)
4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (34)
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (37)
Глава 9. Дифференциальные уравнения
1. Уравнения 1-го порядка
1. Основные понятия (42).
2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин) (44)
3. Уравнения с разделяющимися переменными (45)
4. Однородные уравнения (47).
5 Линейные уравнения (49).
6. Уравнение Бернулли (52).
7. Уравнения в полных дифференциалах (53).
8. Теорема существования и единственности решения. Особые решения (56)
9. Уравнения, не разрешенные относительно производной (57)
10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка (60)
11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка(61)
2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1. Основные понятия. Теорема Коши (66)
2. Уравнения, допускающие понижение Порядка (68)
3. Линейные однородные уравнения (75)
4. Линейные неоднородные уравнения (78)
5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (81)
6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (83)
7. Дифференциальные уравнения Эйлера (87)
8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений (88)
9. Задачи физического характера (89)
3. Системы дифференциальных уравнений
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями п-то порядка (91)
2. Методы интегрирования нормальных систем (94)
3. Физический смысл нормальной системы (97)
4. Линейные однородные системы (98)
5. Линейные неоднородные системы (102)
4. Элементы теории устойчивости
1. Основные понятия (107)
2. Простейшие типы точек покоя (108)
3. Метод функций. Ляпунова (111)
4. Устойчивость по первому приближению (112)
5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Задача Коши (114)
2. Краевая задача для линейного уравнения (121)
Глава 10. Векторный анализ
1. Скалярные и векторные поля. Градиент
1. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей (123)
2. Производная по направлению и градиент скалярного поля (125)
2. Криволинейные и поверхностные интегралы
1. Криволинейный интеграл 1-го рода (127)
2. Поверхностный интеграл 1-го рода (129)
3. Криволинейный интеграл 2-го рода (132)
3. Соотношение между различными характеристиками скалярных и векторных полей
4. Поверхностный интеграл 2-го рода.(135)
1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса — Остроградского (139)
2. Вихрь векторного поля. Теорема Стокса (140)
3. Оператор Гамильтона и его применение (143)
4. Дифференциальные операции 2-го порядка(144)
4. Специальные виды векторных полей
1. Потенциальное векторное поле (145)
2. Соленои-дальное поле (147)
3. Лапласово (или гармоническое) поле (148)
5. Применение криволинейных координат в векторном анализе
1. Криволинейные координаты. Основные соотношения (150)
2. Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах (152)
3. Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля (154)
Глава 11. Основные понятия теории функций комплексной переменной
1. Элементарные функции
1. Понятие функции комплексной переменной (155)
2. Основные элементарные функции комплексной переменной (159)
3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной (162)
2. Аналитические функции. Условия Коши — Римана
1. Производная. Аналитичность функции (163)
2. Свойства аналитических функций (166)
3. Конформные отображения
1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной (163)
2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функция (169)
3. Степенная функция (174)
4. Функция Жуковского (176)
4. Интеграл от функции комплексной переменной
5. Показательная функция (178)
6. Тригонометрические и гиперболические функции (179)
1. Интеграл по кривой и его вычисление (179)
2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши (183)
Глава 12. Ряды и их применение
1. Числовые ряды
1. Сходимость ряда. Критерий Коши (188)
2. Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости (190)
3. Признаки условной сходимости (196)
2. Функциональные ряды
1. Область сходимости функционального ряда (200)
2. Равномерная сходимость (202).
3. Свойства равномерно сходящихся рядов (204)
3. Степенные ряды 205
1. Область сходимости и свойства степенных рядов (205)
2. Разложение функций в ряд Тейлора (208)
3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение (213)
4. Применение степенных рядов 215
1. Вычисление значений функций (215)
2. Интегрирование функций (217)
3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости (218)
4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов (221)
5. Уравнение и функции Бесселя (224)
5. Ряды Лорана
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана (225)
2. Характер изолированных особых точек (229)
6. Вычеты и их применение
1. Вычет функции и его вычисление (231)
2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов (233)
3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов (236)
4. Принцип аргумента (239)
7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье (240)
2. Двойные ряды Фурье (244)
3. Интеграл Фурье (246)
4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье (249)
5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (250)
Глава 13. Операционное исчисление
1. Преобразование Лапласа
1. Определение и свойства преобразования Лапласа (253)
2. Расширение класса оригиналов (260)
2. Восстановление оригинала по изображению
1. Элементарный метод (262)
2. Формула обращения. Теоремы разложения (263)
3. Применения операционного исчисления
1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами (267)
2. Решение линейных интегральных и интегро-диффере-нциальных уравнений (272)
3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных (273)
4. Вычисление несобственных интегралов (275)
5. Суммирование рядов (278)
6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей (280)
4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 284 1. Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа (284). 2. Решение разностных уравнений (290)
Ответы
Приложение