- Артикул:00266407
- Автор: Агошков В.И., Дубовский, Шутяев В.П
- ISBN: 5-9221-0257-5
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Физматлит (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 320
- Формат: 60х90/16
- Год: 2002
- Вес: 534 г
Развернуть ▼
Изложены основные сведения по методам решения задач математической физики, которые стали классическими и общепринятыми (методы теории потенциала, метод собственных функций, методы интегральных преобразований, методы дискретизации, методы расщепления). Отдельная глава посвящена методам решения нелинейных уравнений. Представлены многочисленные примеры применения рассматриваемых методов к решению конкретных задач математической физики, которые имеют прикладное значение и применяются в таких областях науки и деятельности общества, как энергетика, охрана окружающей среды, гидродинамика, теория упругости и др.
Для студентов, аспирантов, научных работников, инженеров, специализирующихся в области вычислительной и прикладной математики и математического моделирования.
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Основные задачи математической физики
1. Введение
2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
2.1. Точечные множества. Классы функций (11). 2.2. Сведения из теории линейных пространств. Пространства (13). 2.3. Пространство. Ортонормальные системы (18). 2.4. Линейные операторы и функционалы (21). 2.5. Обобщенные производные. Пространства Соболева (28).
3. Основные уравнения и задачи математической физики
3.1. Основные уравнения математической физики (32). 3.2. Постановка основных задач математической физики (41). 3.3. Обобщенные постановки и решения задач математической физики (46). 3.4. Вариационные постановки задач (54). 3.5. Интегральные уравнения (58).
Библиографический комментарий
Глава 2. Методы теории потенциала
1. Введение
2. Основы теории потенциала
2.1. Вспомогательные сведения из математического анализа (66). 2.2. Потенциал объемных масс или зарядов (69). 2.3. Логарифмические потенциалы (71). 2.4. Потенциал простого слоя (73). 2.5. Потенциал двойного слоя (75).
3. Применение теории потенциала в классических задачах математической физики
3.1. Решение уравнений Лапласа и Пуассона (79). 3.2. Функция Грина оператора Лапласа (84). 3.3. Решение уравнения Лапласа для сложных областей (87).
4. Другие применения методов потенциала
4.1. Применение методов потенциала к уравнению Гельмгольца (90).
4.2. Нестационарные потенциалы (95).
Библиографический комментарий
Глава 3. Методы разложений по собственным функциям
1. Введение
2. Задачи на собственные значения
2.1. Постановка и физический смысл задач на собственные значения (103).
2.2. Задачи на собственные значения для дифференциальных операторов (106). 2.3. Свойства собственных значений и собственных функций (107).
2.4. Ряды Фурье (108). 2.5. Собственные функции некоторых одномерных задач (110).
3. Специальные функции
3.1. Сферические функции (112). 3.2. Полиномы Лежандра (113). 3.3. Цилиндрические функции (114). 3.4. Полиномы Чебышева, Лагерра и Эрмита (115). 3.5. Функции Матье и гипергеометрические функции (117).
4. Метод собственных функций
4.1. Общая схема метода собственных функций (118). 4.2. Метод собственных функций для дифференциальных уравнений математической физики (119). 4.3. О решении задач с неоднородными граничными условиями (122).
5. Метод собственных функций для задач теории электромагнитных явлений
5.1. Задача об ограниченной телеграфной линии (123). 5.2. Электростатическое поле внутри бесконечной призмы (125). 5.3. Задача об электростатическом поле внутри цилиндра (125). 5.4. Поле внутри шара при заданном потенциале на его поверхности (126). 5.5. Поле заряда, индуцированного на сфере (127).
6. Метод собственных функций для задач теплопроводности
6.1. Теплопроводность в ограниченном стержне (128). 6.2. Стационарное распределение температуры в бесконечной призме (129). 6.3. Распределение температуры в однородном цилиндре (130).
7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
7.1. Свободные колебания однородной струны (131). 7.2. Колебания струны с подвижным концом (133). 7.3. Задача акустики о свободных колебаниях газа (133). 7.4. Колебания мембраны с закрепленным краем (134).
7.5. Задача о колебании круглой мембраны (135).
Библиографический комментарий
Глава 4. Методы интегральных преобразований
1. Введение
2. Основные интегральные преобразования
2.1. Преобразование Фурье (139). 2.2. Преобразование Лапласа (142).
2.3. Преобразование Меллина (143). 2.4. Преобразование Ханкеля (144).
2.5. Преобразование Мейера (145). 2.6. Преобразование Конторовича-Лебедева (146). 2.7. Преобразование Мелера-Фока (147). 2.8. Преобразование Гильберта (147). 2.9. Преобразования Лагерра и Лежандра (148). 2.10. Преобразования Бохнера и свертки, всплески и цепные преобразования (149).
3. Применение интегральных преобразований в задачах теории колебаний
3.1. Электрические колебания (151). 3.2. Поперечные колебания струны (151). 3.3. Поперечные колебания бесконечной круглой мембраны (154).
4. Применение интегральных преобразований в задачах теплопроводности
4.1. Решение задачи теплопроводности с помощью преобразования Лапласа (155). 4.2. Решение задачи теплопроводности с помощью преобразования Фурье (156). 4.3. Задача о температурном режиме шара (157).
5. Применение интегральных преобразований в теории диффузии нейтронов
5.1. Решение уравнения замедления нейтронов для замедлителя бесконечных размеров (158). 5.2. Задача о диффузии тепловых нейтронов (158).
6. Применение интегральных преобразований к задачам гидродинамики
6.1. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости (159). 6.2. Течение идеальной жидкости через щель (160). 6.3. Истечение идеальной жидкости через круглое отверстие (161).
7. Применение интегральных преобразований в теории упругости
7.1. Осесимметричные напряжения в цилиндре (163). 7.2. Задача Буссинеска для полупространства (165). 7.3. Нахождение напряжений в клине (166).
8. Применение интегральных преобразований в кинетике коагуляции
8.1. Точное решение уравнения коагуляции (167). 8.2. Нарушение закона сохранения массы (169).
Библиографический комментарий
Глава 5. Методы дискретизации задач математической физики
1. Введение
2. Конечноразностные методы
2.1. Метод сеток. (174). 2.2. Метод прямых (189). 2.3. Метод сеток для интегральных уравнений (метод квадратур) (194).
3. Вариационные методы
3.1. Основные понятия вариационных постановок задач и вариационных методов (195). 3.2. Метод Ритца. (197). 3.3. Метод наименьших квадратов (202). 3.4. Методы Канторовича, Куранта, Трефтца (203). 3.5. Вариационные методы в проблеме собственных значений (205).
4. Проекционные методы
4.1. Метод Бубнова-Галеркина (208).
4.2. Метод моментов (211).
4.3. Проекционные методы в гильбертовых и банаховых пространствах (212).
4.4. Основные понятия проекционно-сеточных методов (214).
5. Методы интегральных тождеств
5.1. Основные идеи метода (216).5.2. Метод интегрального тождества Марчука (217). 5.3. Обобщенная формулировка метода интегральных тождеств (219). 5.4. Приложения методов интегральных тождеств к задачам математической физики (223).
Библиографический комментарий
Глава 6. Методы расщепления
1. Введение
2. Сведения из теории эволюционных уравнений и разностных схем
2.1. Эволюционные уравнения (230).
2.2. Операторные уравнения в конечномерных пространствах (235).
2.3. Понятия и сведения из теории разностных схем (238).
3. Методы расщепления
3.1. Методы покомпонентного расщепления (методы дробных шагов) (247)
3.2. Методы двуциклического многокомпонентного расщепления (249)
3.3. Методы расщепления с факторизацией операторов (251).
3.4. Метод предиктор-корректор (254).
3.5. Метод переменных направлений и метод стабилизирующей поправки (256).
3.6. Метод слабой аппроксимации. (258).
3.7. Методы расщепления — итерационные методы решения стационарных задач (259).
4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики
4.1. Методы расщепления для уравнения теплопроводности (262).
4.2. Методы расщепления для задач гидродинамики (266).
4.3. Метод расщепления для модели динамики морских и океанических течений (272).
Библиографический комментарий
Глава 7. Методы решения нелинейных уравнений
1. Введение
2. Элементы нелинейного анализа
2.1. Непрерывность и дифференцируемость нелинейных отображений (280).
2.2. Сопряженные нелинейные операторы (283).
2.3. Выпуклые функционалы и монотонные операторы (284).
2.4. Вариационный метод исследования нелинейных уравнений (286).
2.5. Минимизирующие последовательности (288).
3. Метод наискорейшего спуска
3.1. Нелинейное уравнение и его вариационная формулировка (290).
3.2. Основная идея метода наискорейшего спуска (290).
3.3. Сходимость метода (291).
4. Метод Ритца
4.1. Приближения и системы Ритца (293). 4.2. Разрешимость систем Ритца (294). 4.3. Сходимость метода Ритца (295).
5. Метод Ньютона-Канторовича
5.1. Описание итерационного процесса Ньютона (296).
5.2. Сходимость итерационного процесса Ньютона (296).
5.3. Модифицированный метод Ньютона (297).
6. Метод Галеркина-Петрова для нелинейных уравнений
6.1. Приближения и системы Галеркина (298). 6.2. Связь с проекционными методами (298). 6.3. Разрешимость систем Галеркина (299). 6.4. Сходимость метода Галеркина-Петрова (299).
7. Метод возмущений
7.1. Формулировка алгоритмов возмущений (301).
7.2. Обоснование алгоритмов возмущений (303).
7.3. Связь с методом последовательных приближений (305).
8. Приложения к некоторым задачам математической физики
8.1. Метод возмущений для квазилинейной задачи нестационарной теплопроводности (307).
8.2. Метод Галеркина для задач динамики атмосферных процессов (310).
8.3. Метод Ньютона в задачах вариационного усвоения данных (312).
Библиографический комментарий
Список литературы
Рекомендуем
