- Артикул:00-01026321
- Автор: Тартышников Е.Е.
- ISBN: 978-5-7695-3925-1
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Академия (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 320
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 2007
- Вес: 399 г
Развернуть ▼
В учебном пособии изложены основы численных методов - методы и алгоритмы матричного анализа. Рассмотрены вопросы приближения функций, методы решения нелинейных уравнений и минимизации. Помимо классических основ обсуждаются новые результаты и подходы, получившие развитие в последние годы (в частности, методы нелинейной аппроксимации для нелокальных операторов, тензорные декомпозиции, вейвлет-преобразования, общая теория многоуровневых матриц и др.).
Для студентов высших учебных заведений.
Оглавление
От автора
Глава 1. Расстояния и нормы
1.1. Метрическое пространство
1.2. Полезные определения
1.3. Вложенные шары
1.4. Нормированное пространство
1.5. Популярные векторные нормы
1.6. Матричные нормы
1.7. Эквивалентные нормы
1.8. Операторные нормы
Глава 2. Длины, ортогональность, сингулярное разложение
2.1. Скалярное произведение
2.2. Длина вектора
2.3. Изометричные матрицы
2.4. Сохранение длин и унитарные матрицы
2.5. Теорема Шура
2.6. Нормальные матрицы
2.7. Знакоопределенные матрицы
2.8. Сингулярное разложение матрицы
2.9. Унитарно инвариантные нормы
2.10. Короткий путь к сингулярному разложению
2.11. Аппроксимации меньшего ранга
Глава 3. Возмущения и обусловленность
3.1. Теория возмущений
3.2. Число обусловленности матрицы
3.3. Сходящиеся матрицы и ряды
3.4. Простейший итерационный метод
3.5. Обратные матрицы и ряды
3.6. Обусловленность линейной системы
3.7. Согласованность матрицы и правой части
3.8. Возмущение собственных значений
3.9. Непрерывность корней полинома
Глава 4. Возмущения собственных значений и векторов
4.1. Диагональное преобладание
4.2. Круги Гершгорина
4.3. Малые возмущения собственных значений и векторов
4.4. Обусловленность простого собственного значения
4.5. Аналитические возмущения
Глава 5. Спектральные расстояния и кластеры
5.1. Спектральные расстояния
5.2. «Симметричные» теоремы
5.3. Теорема Виландта-Хоффмана
5.4. Перестановочные диагонали
5.5. «Ненормальное» обобщение
5.6. Собственные значения эрмитовых матриц
5.7. Соотношения разделения
5.8. Что такое кластеры
5.9. Кластеры сингулярных чисел
5.10. Кластеры собственных значений
Глава 6. Анализ ошибок округления
6.1. Машинные числа
6.2. Аксиомы машинной арифметики
6.3. Ошибки округления для скалярного произведения
6.4. Прямой и обратный анализ
6.5. Немного философии
6.6. Пример «плохой» операции
6.7. Вычисление собственных векторов
6.8. Идеальные и машинные тесты
6.9. Вверх или вниз
6.10. Решение треугольных систем
Глава 7. LU-разложение
7.1. Прямые методы для линейных систем
7.2. Теория LU-разложения
7.3. Ошибки округления для LU –разложения
7.4. Выбор ведущего элемента
7.5. Полный выбор
7.6. Метод Холецкого
7.7. Треугольные разложения и решение систем
7.8. Как уточнить решение
Глава 8. QR-разложение
8.1. QR -разложение квадратной матрицы
8.2. QR -разложение прямоугольной матрицы
8.3. Матрицы отражения
8.4. Исключение элементов с помощью отражений
8.5. Матрицы вращения
8.6. Исключение элементов с помощью вращений
8.7. Машинные реализации отражений и вращений
8.8. Метод ортогонализации
8.9. Потеря ортогональности
8.10. Как бороться с потерей ортогональности
8.11. Модифицированный алгоритм Грама – Шмидта
8.12. Двухдиагонализация
8.13. Приведение к почти треугольной форме
Глава 9. Степенной метод и итерации подпространства
9.1. Проблема собственных значений
9.2. Степенной метод
9.3. Итерации подпространства
9.4. Расстояние между подпространствами
9.5. Подпространства и ортопроекторы
9.6. Расстояния и ортопроекторы
9.7. Подпространства одинаковой размерности
9.8. Углы между подпространствами и СS-разложение
9.9. Сходимость для блочно-диагональной матрицы
9.10. Сходимость в общем случае
Глава 10. QR-итерации
10.1. QR–алгоритм
10.2. Основные соотношения8
10.3. Сходимость QR–алгоритма
10.4. Доказательство теоремы о сходимости
10.5. GR–алгоритм
10.6. Разложение Брюа
10.7. Что будет, если матрица X-1 не является строго регулярной
10.8. QR-итерации и итерации подпространств
Глава 11. Ускорение QR -итераций
11.1. QR -алгоритм со сдвигами
11.2. Обобщенный QR –алгоритм
11.3. Лемма о QR-итерации
11.4. Квадратичная сходимость
11.5. Кубическая сходимость
11.6. Что делает QR-алгоритм эффективным
11.7. Неявные QR-итерации
11.8. Организация вычислений
11.9. Как найти сингулярное разложение
Глава 12. Интерполяционные приближения
12.1. Приближение функций
12.2. Полиномиальная интерполяция
12.3. Плохая обусловленность матрицы Вандермонда
12.4. Интерполяционный полином Лагранжа
12.5. Погрешность лагранжевой интерполяции
12.6. Разделенные разности
12.7. Формула Ньютона
12.8. Разделенные разности с кратными узлами
12.9. Обобщенные интерполяционные условия
12.10. Таблица разделенных разностей
12.11. Остаточный член многомерной интерполяции
Глава 13. Интерполяционный процесс
13.1. Сходимость интерполяционного процесса
13.2. Сходимость проекторов
13.3. Линейные непрерывные операторы в банаховом пространстве
13.4. Алгебраические и тригонометрические полиномы
13.5. Проекторы, связанные с рядом Фурье
13.6. «Пессимистические» результаты
13.7. Чем плохи равномерные сетки
13.8. Полиномы Чебышева и чебышевские сетки
13.9. «Оптимистические» результаты
13.10. Полиномы Чебышева и эллипсы Бернштейна
13.11. Интерполяция аналитических функций
13.12. Многомерная интерполяция на чебышевских сетках
Глава 14. Кусочно-полиномиальная интерполяция
14.1. Сплайны
14.2. Естественные сплайны
14.3. Вариационное свойство естественных сплайнов
14.4. Построение естественных сплайнов
14.5. Аппроксимационные свойства естественных сплайнов
14.6. В-сплайны и разделенные разности
14.7. Рекуррентная формула для В-сплайнов
14.8. В-сплайны на равномерных сетках
14.9. Сплайны и интеграл Фурье
14.10. Квазилокальность и ленточные матрицы
Глава 15. Минимизационные методы приближения функции
15.1. Минимизация нормы
15.2. Равномерные приближения
15.3. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля
15.4. Ряд Тейлора и его дискретный аналог
15.5. Квазиоптимальность интерполяционных приближений
15.6. Принцип наибольших объемов
15.7. Метод наименьших квадратов
15.8. Ортогональные полиномы
15.9. Трехчленные рекуррентные соотношения
15.10. Корни ортогональных полиномов
15.11. Разложение интерполяционного полинома
15.12. Ортогональные полиномы и разложение Холецкого
Глава 16. Вычисление интегралов
16.1. Численное интегрирование
16.2. Интерполяционные квадратурные формулы
16.3. Алгебраическая точность квадратурной формулы
16.4. Популярные квадратурные формулы
16.5. Формулы Гаусса
16.6. Составные квадратурные формулы
16.7. Правило Рунге для оценки погрешности
16.8. Как интегрировать «плохие» функции
16.9. Интегралы от быстроосциллирующих функций
16.10. Применение полиномов Лежандра
Глава 17. Решение нелинейных уравнений
17.1. Нелинейные уравнения
17.2. Метод простой итерации
17.3. Сходимость и расходимость метода простой итерации
17.4. Оптимизация метода простой итерации
17.5. Метод Ньютона и эрмитова интерполяция
17.6. Сходимость метода Ньютона
17.7. Всюду Ньютон
17.8. Многомерное обобщение
17.9. Прямая и обратная интерполяция
17.10. Метод секущих
17.11. Что лучше: метод секущих или метод Ньютона
Глава 18. Минимизация функционалов
18.1. Методы минимизации
18.2. Снова Ньютон
18.3. Релаксация
18.4. Дробление шага
18.5. Существование и единственность точки минимума
18.6. Градиентный метод с дроблением шага
18.7. Метод скорейшего спуска
18.8. Сложность простого вычисления
18.9. Быстрое вычисление градиента
18.10. Полезные идеи
18.11. Квазиньютоновские методы
18.12. Сходимость для квадратичных функционалов
Глава 19. Итерации на подпространствах Крылова
19.1. Квадратичные функционалы и линейные системы
19.2. Минимизация и проекционные методы
19.3. Подпространства Крылова
19.4. Оптимальные подпространства
19.5. Оптимальность подпространств Крылова
19.6. Метод минимальных невязок
19.7. А-норма и А-ортогональность
19.8. Метод сопряженных градиентов
19.9. От матричных разложений к итерационным методам
19.10. Формальное скалярное произведение
19.11. Метод биортогонализации
19.12. Метод квазиминимальных невязок
Глава 20. Анализ метода минимальных невязок
20.1. Сходимость метода минимальных невязок
20.2. Условие строгой эллиптичности
20.3. Оценки с помощью полиномов
20.4. Полиномы и резольвента
20.5. Предельная скорость сходимости
20.6. Числовая область матрицы
20.7. Оценка резольвенты
20.8. Сходимость в случае нормальных матриц
20.9. Минимальные невязки и уравнение Лапласа
20.10. Метод логарифмического потенциала
20.11. Обоснование метода
Глава 21. Анализ метода сопряженных градиентов
21.1. Сходимость метода сопряженных градиентов
21.2. Классическая оценка
21.3. Более точные оценки
21.4. Метод Арнольди и метод Ланцоша
21.5. Числа и векторы Ритца
21.6. Сходимость чисел Ритца
21.7. Важное свойство
21.8. «Сверхлинейная сходимость» и «исчезающие» собственные значения
21.9. Явные и неявные предобусловливатели
21.10. Предобусловливание эрмитовых матриц
21.11. Оценки числа итераций
Глава 22. Методы решения операторных уравнений
22.1. Операторные уравнения
22.2. Слабые решения
22.3. Метод конечных элементов
22.4. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
22.5. Метод Галеркина
22.6. Компактные возмущения
22.7. Формы и операторы
22.8. Существование решений
22.9. Теория Рисса - Фредгольма
22.10. Сопряженные операторы
22.11. Интегральные уравнения
22.12. Функциональные пространства
Глава 23. Алгебраические основы многосеточных методов
23.1. Многосеточный метод
23.2. Алгебраическая формулировка
23.3. Сглаживатель
23.4. Основные предположения
23.5. Общая схема многосеточного метода
23.6. Основное уравнение и неравенство
23.7. Анализ V-цикла
23.8. Анализ W-цикла
23.9. Интересные наблюдения
23.10. Простейший пример
23.11. Коррекции на подпространствах
Глава 24. Быстрые алгоритмы линейной алгебры
24.1. Матрицы специального вида
24.2. Циркулянты и теплицевы матрицы
24.3. Циркулянты и матрицы Фурье
24.4. Быстрое преобразование Фурье
24.5. Циркулянтные предобусловливатели
24.6. Оптимальные циркулянты для теплицевых систем
24.7. Строение обратных матриц
24.8. Теплицевы ранги
24.9. Алгоритмы метода окаймления
24.10. Теплицевы матрицы и полиномы
Глава 25. Методы нелинейной аппроксимации
25.1. Нелинейные аппроксимации
25.2. Малый ранг и ленточные матрицы
25.3. Многоуровневые матрицы
25.4. Матрицы и функции
25.5. Оценка числа параметров
25.6. Асимптотически сепарабельные функции
25.7. Метод крестовой аппроксимации
25.8. Алгоритм крестовой аппроксимации
25.9. Суперфункции
25.10. Классические вейвлеты
25.11. Рекурсия
25.12. Обобщенные вейвлеты
25.13. Вейвлеты и тензоры
25.14. Тензорные аппроксимации в трехмерном случае
Список литературы
Рекомендуем
