Субдифференциальное исчисление: теория и приложения

В монографии изложены основные результаты нового раздела функционального анализа - субдифференциального исчисления. Широко представлен современный инструментарий этой области: техника пространств Канторовича, методы булевозначного и инфинитезимально-го анализа. Наряду с аналитическими вопросами большое место уделено технике вывода критериев оптимальности для выпуклых экстремальных задач, включая важные для приложений вопросы характеризации приближений к оптимальным решениям и значениям. Впервые книга вышла в 1992 г. в Сибирском отделении издательства "Наука". В 1995 г. издательство Kluwer Academic Publishers выпустило в свет расширенный перевод книги, который и стал основой для настоящего издания.
Для математиков, интересующихся современным аппаратом негладкого анализа и его приложениями.
Введение
Предмет настоящей книги - субдифференциалъное исчисление. Главный источник этого раздела функционального анализа - теория экстремальных задач.
Поясним происхождение и постановку основных проблем субдифференциального исчисления. Для этого рассмотрим абстрактную задачу минимизации в виде
Здесь X - некоторое векторное пространство, а : X - R - числовая функция, принимающая, быть может, бесконечные значения. Как обычно, в подобных обстоятельствах нас интересуют величина inf(X) - значение задачи - и ее решения или оптимальные планы, иначе говоря, те! ? X, для которых (х) = inf f{X) (если они существуют).
Решить задачу "в явном виде", т. е. предъявить значение и решения, удается крайне редко. В этой связи возникает необходимость упрощения исходной задачи, ее сведения к более обозримым модификациям, формулируемым с учетом деталей строения целевой функции . Обычная гипотеза, принимаемая при поиске теоретических подходов к искомой редукции, состоит в следующем. Вводя дополнительную функцию I, рассматривают задачу:
При этом новая задача считается столь же сложной, как и исходная, при условии, что I - линейный функционал на X, т. е. элемент алгебраически сопряженного пространства Х. Содержательная обоснованность этой естественно-научной гипотезы представляется весьма высокой.
Таким образом, исходная задача минимизации функции включается, как это характерно для "социологического" подхода функционального анализа, в параметрическое семейство вариантов этой же задачи. Иначе говоря, теоретический анализ принято начинать, считая изначально известным отображение : Х& - R, определенное соотношением
Введенную функцию называют преобразованием Юнга-Фенхеля, функции . Заметим, что величина - (0) представляет собой значение первойачапьной экстремальной задачи.
Описанная процедура сводит интересующую нас проблему к задаче о замене переменных в преобразовании Юнга-Фенхеля, т. е. о вычислении агрегата ( о G), где G: Y - X - некоторый оператор, действующий из Y в X.
Подчеркнем, что - это выпуклая функция переменной I. Уже это обстоятельство подсказывает, что наиболее полные результаты в избранном направлении следует ожидать в принципиальном случае выпуклости исходной функции. В самом деле, в этой ситуации, определяя субдифференциал f в точке х соотношением
мы видим следующее. Точка х - решение исходной задачи минимизации в том и только в том случае, если выполнен критерий оптимальности Ферма:
Стоит отметить, что от приведенного критерия Ферма мало прока, если нет достаточно эффективных средств вычисления субдифференциала df(x). Иначе говоря, мы приходим к вопросу о нахождении правил для вычисления субдифференциалов сложных отображений d(f о G)(y). При этом адекватное осмысление G как выпуклого отображения требует наличия в X структуры упорядоченного векторного пространства. Например, представление суммы выпуклых функций в виде композиции линейного и выпуклого операторов:
предполагает введение в R2 покоординатного сравнения векторов.
Таким образом, мы с необходимостью приходим к операторам, действующим в упорядоченные векторные пространства. Среди проблем, возникающих на указанном пути, центральные места занимают задачи обнаружения явных правил для вычисления преобразований Юнга-Фенхеля или субдифференциалов сложных отображений. Решение названных проблем и составляет основной предмет субдифференциального исчисления.
Важнейший случай выпуклых операторов представляется разработанным уже столь тщательно, что можно говорить о завершении определенного этапа теории субдифференциалов. Исследования настоящего времени ведутся главным образом в направлениях, связанных с поиском подходящих локальных аппроксимаций к произвольному не обязательно выпуклому оператору. Наиболее принципиальной представляется техника, основанная на концепции касательного конуса Ф. Кларка, которая была распространена Р. Т. Рокафелларом на случай общих отображений. Однако до состояния совершенства еще далеко. Все же стоит отметить, что основные технические приемы здесь также существенно опираются на субдифференциалы выпуклых операторов.
В этой связи основной объем книги мы отвели для выпуклого случая, оставив почти малоисследованной огромную территорию негладкого анализа. Повсюду остались зияющие пустоты. Слабым оправданием для нас может служить немалое количество прекрасных недавних книг, посвященных болевым точкам негладкого анализа. Запас технических приемов теории субдифференциалов весьма полон. Среди них принципы функционального анализа, методы теории упорядоченных векторных пространств, теория меры и тому подобное.
Многие задачи субдифференциального исчисления и негладкого анализа были решены в последние годы с помощью нестандартных методов математического анализа (в своих инфинитезимальной и булевозначной версиях). Работая над книгой, мы имели в виду намерение (и потребность) сделать новые идеи и методы доступными для широкого круга читателей. Рамки любой (в том числе и этой) книги слишком узки для свободного и независимого изложения всех необходимых фактов из перечисленных выше дисциплин. По этой причине мы выбрали компромиссный путь частичных пояснений. В их отборе мы руководствовались многолетним опытом, почерпнутым из лекционных курсов, прочитанных в Новосибирском и Северо-Осетинском государственных университетах.
Еще одно обстоятельство требует явного разъяснения, именно, присутствие слова "приложения" в заголовке книги. Формально говоря, оно подразумевает многие применения теории субдифференцирования, получившие достаточное освещение в книге. В качестве таковых можно упомянуть вычисление составных преобразований Юнга-Фенхеля, обоснование принципа Лагранжа и вывод критериев оптимальности в задачах векторной оптимизации. Однако гораздо больше тем остались незатронутыми и заголовок отражает наши первоначальные намерения и фантазии, доставляя также известный вызов для будущих исследований.
Первый вариант этой книги появился в 1987 году под названием "Субдифференциальное исчисление". В 1992 году Сибирское отделение издательства "Наука" опубликовало переработанное издание, перевод которого на английский язык, осуществленный в 1995 году издательством Kluwer Academic Publishers, был в свою очередь модернизирован и значительно расширен по сравнению с русским оригиналом. Обновленный и дополненный вариант английского издания стал основой лежащей перед читателем книги. Ее предварительный вариант был опубликован Институтом математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН в двух частях, увидевших свет в 2002 и 2003 годах.
Выполняя приятный долг, мы выражаем благодарность за помощь в подготовке книги своим коллегам по Институту математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН и Институту прикладной математики и информатики
Владикавказского научного центра РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания.
В 1986 год' один вслед за другим ушли из жизни Леонид Витальевич Канторович и Глеб Павлович Акилов, научившие нас функциональному анализу.
В 1999 году не стало Александра Даниловича Александрова, одного из основоположников геометрической теории выпуклых фигур и редактора первого варианта этой книги.
Памяти этих прекрасных людей и замечательных ученых мы посвящаем нашу книгу с чувством безмерной признательности.