Описание раздела
Книга посвящена математически строгому изложению квантовой механики, в особенности вопросов, связанных с методом континуального интегрирования и суперсимметрий. Она будет полезна аспирантам и научным сотрудникам-математикам, в сфере научных интересов которых находятся математические аспекты квантовой механики, а также ее приложения и связи с различными подходами современной математики. Содержание Предисловие к русскому изданию Предисловие редактора перевода Предисловие Часть I. Основы Глава 1. Классическая механика 1.1. Лагранжева механика 1.1.1. Обобщенные координаты 1.1.2. Принцип наименьшего действия 1.1.3. Примеры ла1ранжевых систем 1.1.4. Симметрии и теорема Нётер 1.1.5. Одномерное движение 1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера 1.1.7. Преобразование Лежандра 1.2. Гамильтонова механика 1.2.1. Уравнения Гамильтона 1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве 1.2.3. Действие как функция координат 1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона 1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции 1.2.6. Симплектические многообразия 1.2.7. Пуассоновы многообразия 1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля 1.3. Замечания и ссылки Глава 2. Основные принципы квантовой механики 2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 2.1.1. Математическая формулировка 2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга 2.1.3. Динамика 2.2. Квантование 2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга 2.2.2. Координатное и импульсное представления 2.2.3. Свободная квантовая частица 2.2.4. Примеры квантовых систем 2.2.5. Старая квантовая механика 2.2.6. Гармонический осциллятор 2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы 2.3. Соотношения Вейля 2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана 2.3.2. Инвариантная формулировка 2.3.3. Квантование Вейля 2.3.4. х-произведение 2.3.5. Деформационное квантование 2.4. Замечания и ссылки Глава 3. Уравнение Шрёдингера 3.1. Общие свойства 3.1.1. Самосопряженность 3.1.2. Характеризация спектра 3.1.3. Теорема о вириале 3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода 3.2.2. Разложение по собственным функциям 3.2.3. 5-магрица и теория рассеяния 3.2.4. Другие граничные условия 3.3. Угловой момент и SO(3) 3.3.1. Операторы углового момента 3.3.2. Теория представлений SO(3) 3.4. Задача двух тел 3.4.1. Отделение центра масс 3.4.2. Трехмерная теория рассеяния 3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале 3.5. Атом водорода и SO(4) 3.5.1. Дискретный спектр 3.5.2. Непрерывный спектр 3.5.3. Скрытая SО(4) симметрия 3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени 3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени 3.6.3. Правила квантования Бора - Вильсона - Зоммерфельда 3.7. Замечания и ссылки Глава 4. Спин и тождественные частицы 4.1. Спин 4.1.1. Операторы спина 4.1.2. Спин и теория представлений SU(2) 4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 4.2.1. Гамильтониан Паули 4.2.2. Частица в однородном магнитном поле 4.3. Система тождественных частиц 4.3.1. Постулат симметризации 4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN 4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций 4.4. Замечания и ссылки Часть II. Функциональные методы и суперсимметрия Глава 5. Фсйнмановская формулировка квантовой механики 5.1. Фейнмановский интеграл по путям 5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера 5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом пространстве 5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурационном пространстве 5.1.4. Несколько степеней свободы 5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 5.2.1. pq-символ 5.2.2. qp-символ 5.2.3. Вейлевский символ 5.2.4. Виковский символ 5.3. Фейнмановский интеграл для гармоническою осциллятора 5.3.1. Гауссово интегрирование 5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора 5.3.3. Тождество Мелера 5.4. Гауссовы интегралы по путям 5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы 5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического осциллятора 5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 5.5.1. Граничные условия Дирихле 5.5.2. Периодические граничные условия 5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка 5.6. Квази классическая асимптотика - II 5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям 5.6.2. Строгий вывод 5.7. Замечания и ссылки Глава 6. Интегрирование в функциональных пространствах 6.1. Гауссовы меры 6.1.1. Конечномерный случай 6.1.2. Бесконечномерный случай 6.2. Мера Винера и интеграл Винера 6.2.1. Определение меры Винера 6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца 6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана 6.3. Гауссовы интегралы Винера 6.3.1. Граничные условия Дирихле 6.3.2. Периодические граничные условия 6.4. Замечания и ссылки Глава 7. Фермионные системы 7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 7.1.1. Мотивировка 7.1.2. Алгебры Клиффорда 7.2. Алгебры Грассмана 7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соотношений 7.2.2. Дифференциальные формы 7.2.3. Интеграл Березина 7.3. Градуированная линейная алгебра 7.3.1. Градуированные векторные пространства и супералгебры 7.3.2. Примеры супералгебр 7.3.3. Суперслед и березиниан 7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 7.4.1. Виковские и матричные символы 7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции 7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых переменных 7.5. Замечания и ссылки Глава 8. Суперсимметрия 8.1. Супермногообразия 8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 8.2.1. Конечномерный случай 8.2.2. Бесконечномерный случай 8.3. Классическая механика на супермногообразиях 8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями 8.3.2. Классические системы 8.4. Суперсимметрия 8.4.1. Полный угловой момент 8.4.2. Преобразование суперсимметрии 8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многообразии 8.5. Квантовая механика на супермногобразиях 8.6. Формула Атьи-Зингера для индекса 8.7. Замечания и ссылки Литература
