Описание раздела
Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник в результате преподавания в Ленинградском государственном университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов при прохождении ими основного курса высшей алгебры. Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, собрано большое количество численных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для контрольных работ. С другой стороны, приводится значительное количество задач средней трудности и трудных, решение которых требует от учащихся проявления инициативы и изобретательности. Многие из задач этой категории сопровождаются указаниями, помещенными во второй части книги. Номера задач, к которым даны указания, отмечены звездочками. Все задачи снабжены ответами, для части задач даны подробные решения. Содержание Предисловие Часть I Задачи Глава 1. Комплексные числа § 1. Действия над комплексными числами § 2. Комплексные числа в тригонометрической форме § 3. Уравнения третьей и четвертой степени § 4. Корни из единицы Глава 2. Вычисление определителей § 1. Определители 2-го и 3-го порядков § 2. Перестановки § 3. Определение детерминанта § 4. Основные свойства определителей § 5. Вычисление определителей § 6. Умножение определителей § 7. Различные задачи Глава 3. Системы линейных уравнений § 1. Теорема Крамера § 2. Ранг матрицы § 3. Системы линейных форм § 4. Системы линейных уравнений Глава 4. Матрицы § 1. Действия над квадратными матрицами § 2. Прямоугольные матрицы. Некоторые неравенства Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной переменной § 1. Действия над полиномами. Формула Тейлора. Кратные корни § 2. Доказательство основной теоремы высшей алгебры и смежные вопросы § 3. Разложение на линейные множители. Разложение на неприводимые множители в поле вещественных чисел. Соотношения между коэффициентами и корнями § 4. Алгорифм Евклида § 5. Интерполяционная задача и дробная рациональная функция § 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость и неприводимость в поле рациональных чисел § 7. Границы корней полинома § 8. Теорема Штурма § 9. Различные теоремы о распределении корней полинома § 10. Приближенное вычисление корней полинома Глава 6. Симметрические функции § 1. Выражение симметрических функций через основные. Вычисление симметрических функций от корней алгебраического уравнения § 2. Степенные суммы § 3. Преобразование уравнений § 4. Результант и дискриминант § 5. Преобразование Чирнгаузена и уничтожение иррациональности в знаменателе § 6. Полиномы, не меняющиеся при четных перестановках переменных. Полиномы, не меняющиеся при круговых перестановках переменных Глава 7. Линейная алгебра § 1. Подпространства и линейные многообразия. Преобразование координат § 2. Элементарная геометрия n-мерного евклидова пространства § 3. Характеристические числа и собственные векторы матрицы § 4. Квадратичные формы и симметрические матрицы § 5. Линейные преобразования. Каноническая форма Жордана Часть II Указания Глава 1. Комплексные числа Глава 2. Вычисление определителей Глава 4. Матрицы Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной переменной Глава 6. Симметрические функции Глава 7. Линейная алгебра Часть III Ответы и решения Глава 1. Комплексные числа Глава 2. Вычисление определителей Глава 3. Системы линейных уравнений Глава 4. Матрицы Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной переменной Глава 6. Симметрические функции Глава 7. Линейная алгебра
